刚体力学

上页下页结束返回第三章刚体力学0vvRviniii同方向或反方向。是角加速度，与zyx，0IIdtdJMzzzzzzoORiPiriiivxyziirviiiiiniiivRRvaRRa22IIJzzzzzz)(分量为主矩的zzM上页下页结束返回第三章刚体力学三、轴上的附加压力xoRiF3AByzNAxNAyNAzNByNBxNBzF1F2Fn)(212为保守力时FEVIzz上页下页结束返回第三章刚体力学上页下页结束返回第三章刚体力学0022zzxyyyxxxyyxiiiiiiiiii，MIMNABIIMNABIIFNFNNmxymFNNymmxzzzyBxyzzxxByzxyzizAziyByAyccixBxAxcc0222常数，，iiiiizRyRxsincos因则故上页下页结束返回第三章刚体力学0022yxyxcccc时的为静力反作用力0BANN、在主动力作用下，要使动力反作用与静力反作用相等，充要条件是时00和0022IIIIzxyzzxyz刚体达到动平衡，转轴为自由转轴。时的为动力反作用力BANN、00和上页下页结束返回第三章刚体力学讨论（1）刚体质心在轴上（xc=0，xy=0）（2）转轴是惯量主轴（设z为转轴，则：Izx=0，Iyz=0）（3）轴向合外力为零00，1、轴上附加压力为零的条件(与情况比较）2、附加压力为零时，刚体达到动平衡，将一直转下去（去掉约束）。3、附加压力是由于刚体转动时所产生的惯性力引起的，主要部分。2所以高速运转的机器，制造与安装质量非常重要！上页下页结束返回第三章刚体力学一、运动学平行截面(薄片)的运动平面问题1、纯平动各点位移相同2、纯转动角位移相同故：A点称为基点结论：平面平行运动=随基点的平动+绕基点的转动§3.7刚体的平面平行运动BA·LALBBCC刚体中任一点始终在平行于某固定平面的平面内运动。由L到的运动可分为两个步骤：L同理：点也可以是基点C上页下页结束返回第三章刚体力学静系：O-xyz固着在固定平面动系：固着在薄片zyxA轴上在z)(0rrvrvvAAdtrdrdtdaaA)(rdtrd2rrdtdaaAP点：yyr0rrxxPzzAO)()(rr法向加速度切向加速度上页下页结束返回第三章刚体力学讨论：1、与基点的选取无关，是描写整个刚体的运动学量。2、速度分量式iyyjxxjyyixxkr)()(])()([0000所以：)(0yyvvAxx)(0xxvvAyyyvvxAxxvvyAy方向的分量yx、绝对速度绝对速度iyjxjyixkr)(方向的分量yx、上页下页结束返回第三章刚体力学二、转动瞬心刚体中的那一点(亦称转动中心，又叫极点)。0v0)(0yyvvAxx0)(0xxvvAyy0yvvxAx0xvvyAy动系中静系中Aycvxx0Axcvyy0yAcvxxAcvy上页下页结束返回第三章刚体力学空间极迹：C在静系中的轨迹（S）本体极迹：C在动系（薄片）中的轨迹（B）转动瞬心C是两轨迹的公共切点。潘索定理：本体极迹在空间极迹上作纯滚动。注意：瞬心速度为零但加速度不为零。刚体上任一点A的速度方向与该点和转动瞬心C的连线相垂直。转动瞬心的求法AvBvABCCDEBS刚体作平面运动时，刚体上任意两点的速度在两点连线上的投影必相等。上页下页结束返回第三章刚体力学MIIzzzzz三、动力学取过质心并与固定平面平行的“薄片”，且以质心为基点，则Fx、Fy、Mz中的力包括约束反力的作用，故需加约束方程才能求解。FymFxmycxcVImvEzzc222121机械能守恒质心运动定理动量矩定理OxyCxxyycr上页下页结束返回第三章刚体力学四、滚动摩擦滚动摩擦力矩：0NkM滑动摩擦力：0Nf原因：正压力未过质心，偏于质心前方。NOv0ABNfk上页下页结束返回第三章刚体力学一般情况：实验表明所以滚动比滑动省力,10~1hk理想刚体只滚不滑时，受到的摩擦力是静摩擦力（不作功，机械能守恒）与滚动摩擦力矩（作功，消耗能量）概念不同。滑动滚动,,NFNhkF上页下页结束返回第三章刚体力学222212xyOCab[例1]试用转动瞬心法求椭圆规尺M点的速度、加速度，并求本体极迹和空间极迹的方程式。转动瞬心空间极迹本体极迹sinBvcabsincab2222222sincoscMvMCabcabtgab解22222xyOCABab上页下页结束返回第三章刚体力学2222222222222222cos1sinsin1cossinsin1coscoscossincossinsin1cossinsinMBddaarrkbjbjdtdtccbibjababbcijabbcijijabbcab223sin1sinibciabsincab4223sin1Mbcaixbxab上页下页结束返回第三章刚体力学解(A)机械能守恒定律22222112211.......(2)2CzzCTmxIkmxa动能例2半径为a，质量为m的圆柱体，沿着倾角为的粗糙斜面无滑动地滚下。试求质心沿斜面运动的加速度及约束反作用力的法向分量和切向分量（摩擦阻力）。Nf约束方程……(1)axcCO’mgNfOyxC上页下页结束返回第三章刚体力学CO’mgNfOyxCsin.......(3)CVmgx势能机械能22211sin.......(4)2CCkEmxmgxa求微商，得22sin1/.......(5)Cgxka实心圆柱体2sin3Cxg空心圆柱体1sin2Cxg不能求约束反力上页下页结束返回第三章刚体力学......(1)Cxa约束方程：质心C点的平动方程：绕质心C点的转动方程：2.......(4)mkfa(B)质心运动定理和对质心的动量矩定理CO’mgNfOyxC)3(cos0)2(sinmgNfmgxmc由（1）得：axc上页下页结束返回第三章刚体力学联立方程可求得：22222sinCkmgkfmxaakcosNmg222fktgNak无滑滚动的条件：上页下页结束返回第三章刚体力学一、定点转动运动学分析：转动轴取向连续变化三个独立变量),,(转动瞬轴在静系（空间）中形成空间极面；在动系（刚体）中形成本体极面。§3.7刚体绕固定点的转动如果刚体内只有一点始终保持不动，则叫定点转动。大小、方向都是时间的函数)(t上页下页结束返回第三章刚体力学rdtrdvdtvdarrr2)()(rrz本体极面在空间极面上作滚动。潘索定理Rr2转动加速度向轴加速度OrPRM上页下页结束返回第三章刚体力学讨论：与P点法向反向。Rr2)(1、向轴加速度3、刚体一般运动基点平动+绕基点的定点转动rvvArrrvaA2)(不沿P点切向，所以称为转动加速度。2、定点转动时dtd一般与不共线，一般r沙尔定理rPO上页下页结束返回第三章刚体力学二、欧勒动力学方程取定点O上的惯量主轴为动坐标系O-xyz的坐标轴kIjIiIJzyx321)(2dtjdjIyy)(1dtidiIdtJdxx)(3dtkdkIzzMdtJd的函数是，是、、，tIII常量惯量积均为零321则其中上页下页结束返回第三章刚体力学kjkjiidtidyzzyx001ikkjijdtjdzxzyx010jikjikdtkdxyzyx100上页下页结束返回第三章刚体力学欧勒动力学方程（1776年推出）MIIIMIIIMIIIzyxzyxzyxzyx)()()(213132321讨论：1、如果将欧勒运动学方程带入，消去：zyxzyx,,,,;则得到,,的二阶常微分方程——没有一般解。一主轴方向的改变是由其它两主轴的转动引起的（如自转）。VIIIEzyx)(212322212、机械能守恒上页下页结束返回第三章刚体力学OzzN上页下页结束返回第三章刚体力学取螺旋桨的中心A为原点，建立固着在飞机的动坐标系，其单位矢量如图3.8.4所示。解：本题是一般运动问题[例]当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水平圆形轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心A的联线和沿垂线成θ角时，B点的速度及加速度。已知螺旋桨的长度AB＝l，螺旋桨自身旋转的角速度为ω1。螺旋桨的合成角速度为kRVj1ABiROCjkl上页下页结束返回第三章刚体力学取A为基点，B点的速度为：klilrcossinrvdtrdvvAABjVvAABiROCjkl)cossin()(1klilkRVjjVvkljRlVilsin)sin1(cos11上页下页结束返回第三章刚体力学B点的加速度为：dtjddtd1iRVjkRVjdtjd0iRVdtd1klilrcossinkRVj1jVvA)(rrdtdaaA上页下页结束返回第三章刚体力学)cossin(12kliliRViRV)sinsincos()(111kljlRVilkRVjilRVlRV)sinsin(22212kljlRVcoscos2211)(rrdtdaaA上页下页结束返回第三章刚体力学AxABgmBNANy题3.1图上页下页结束返回第三章刚体力学OxBACbbbyrTT题3.4图上页下页结束返回第三章刚体力学xyOABC1N2N1Fgm12Fgm2题3.5图上页下页结束返回第三章刚体力学xyzOBAM题3.30图上页下页结束返回第三章刚体力学MBAOCxPy