反比例函数及其应用详解

反比例函数及其应用一、反比例函数解析式的三种形式1.y=___(k≠0，k为常数).2.y=k___(k≠0，k为常数).3.xy=__(k≠0，k为常数).kxx-1k二、反比例函数的图象与性质1.反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象是_______，且关于_____对称.kx双曲线原点2.反比例函数(k为常数，k≠0)的图象和性质函数图象所在象限性质(k为常数，k≠0)k0_______象限(x，y同号)在每个象限内，y随x增大而____k0_______象限(x，y异号)在每个象限内，y随x增大而____kyx一、三kyx减小二、四增大【思维诊断】(打“√”或“×”)1.若是反比例函数，则a的取值为±1.()2.若反比例函数的图象过点(5，-1)，则实数k的值是-5.()3.反比例函数中，y随着x的增大而减小.()4.若点A(1，y1)，B(2，y2)都在反比例函数(k0)的图象上，则y1，y2的大小关系为y1y2.()2a2ya1xkyx3yxkyx×√××热点考向一反比例函数的图象和性质【例1】(1)(2014·常德中考)下列关于反比例函数的三个结论：①它的图象经过点(7，3)；②它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小；③它的图象在二、四象限内.其中正确的是.(2)(2014·连云港中考)若函数的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则m的值可以是.(写出一个即可)21yxm1yx－【思路点拨】(1)根据解析式判断“k”的符号，再根据反比例函数的性质进行判断.(2)根据在同一象限内，y随x的增大而增大确定m-1的符号，再确定m的取值范围.【自主解答】(1)对于反比例函数，当x=7时，y==3，所以函数图象经过点(7，3)，k=210，所以函数的图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小.答案：①②21yx21721yx(2)若函数的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则m-10，所以m1，所以m的值可以是0.答案：0(答案不惟一)m1yx－【规律方法】比较反比例函数上的点的坐标值的大小先要判断是同一象限还是不同象限内的点，同一象限内的点可根据函数的增减性进行比较；不同象限内的点，可根据纵坐标的正、负性进行比较；更直观的方法是利用函数图象进行比较.【真题专练】1.若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可能是()A.0B.2C.3D.4【解析】选A.因为k-10，所以k1，在4个选项中，只有A适合.k1yx2.函数(a≠0)与y=a(x-1)(a≠0)在同一坐标系中的大致图象是()ayx＝【解析】选A.当a0时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，而双曲线分布在第二、四象限，没有符合要求的；当a0时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，而双曲线分布在第一、三象限，A选项符合题意，故应选A.【方法技巧】根据反比例函数的图象确定k的取值的方法一看所在象限：若双曲线两个分支在第一、三象限，则k0；若双曲线两个分支在第二、四象限，则k0.二看增减性：若双曲线的两个分支的每个分支中，y随x的增大而减小，则k0；若双曲线在两个分支的每个分支中，y随x的增大而增大，则k0.3.关于反比例函数的图象，下列说法正确的是()A.图象经过点(1，1)B.两个分支分布在第二、四象限C.两个分支关于x轴成轴对称D.当x0时，y随x的增大而减小2yx【解析】选D.∵k=20，∴图象的每个分支，都有y随x的增大而减小.热点考向二确定反比例函数的解析式【例2】反比例函数的图象经过点(-2，3)，则k的值为()A.6B.-6C.D.【思路点拨】将点的坐标代入反比例函数的解析式求解.12kyx－7272【自主解答】选C.将点的坐标(-2，3)代入得，解得.12k32－－7k2【规律方法】用待定系数法求反比例函数解析式的四个步骤1.设出解析式(k是常数，k≠0).2.把已知的一对x，y的值代入解析式，得到关于待定系数k的方程.3.解这个方程求出待定系数k.4.将所求得的待定系数k的值代回所设的解析式中.kyx【真题专练】1.已知反比例函数的图象经过点(2，3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是()A.(-6，1)B.(1，6)C.(2，-3)D.(3，-2)kyx【解析】选B.根据反比例函数的图象经过点(2，3)，可得k=6，所给的四个选项中横纵坐标的乘积等于6的只有B选项中的(1，6)，故(1，6)也在这个函数图象上.kyx2.如图，已知直线y=-x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于E，F两点，若AB=2EF，则k的值是()A.-1B.1C.D.kyx1234【解析】选D.∵直线y=-x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则点A(2，0)，点B(0，2)，∴△AOB是等腰直角三角形，AB=.又∵AB=2EF，∴EF=.设点E的横坐标为x1，点F的横坐标为x2，则x1-x2=1.∴x2-2x+k=0.222yx2kyx－，，∵x1，x2是方程x2-2x+k=0的两个根，∴x1+x2=2，x1x2=k，∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4k，∴1=4-4k，解得.3k4【知识拓展】利用待定系数法求反比例函数的解析式的注意事项如果y与x成反比例，则可设；若是y与x2成反比例，则要设为.同理，如果y与x+1成反比例，则应该设为.kyx＝2kyx＝kyx1＝3.已知反比例函数，当x=2时，y=3.(1)求m的值.(2)当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围.5myx【解析】(1)把x=2，y=3代入得到5-m=6，所以m=-1.(2)当x=3时，由得y=2；x=6时，由得y=1.当3≤x≤6时，y随x的增大而减小，所以函数值的范围是1≤y≤2.5myx6yx6yx热点考向三反比例函数的应用【例3】在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变.密度ρ(单位：kg/m3)与体积V(单位：m3)满足函数关系式(k为常数，k≠0)，其图象如图所示，则k的值为()A.9B.-9C.4D.-4kV【思路点拨】分析函数图象可知过点A(6，1.5)，把(6，1.5)代入即可求得k的值.kV【自主解答】选A.把V=6，ρ=1.5代入得，k=9.【规律方法】建立反比例函数模型解决实际问题的两种思路1.通过问题提供的信息，知道变量之间有什么关系，在这种情况下，可先设出函数表达式，再由已知条件确定表达式中的字母系数即可.2.问题本身的条件中不知道变量间是什么函数关系，此时要通过分析，找出变量间的关系并确定函数表达式.【真题专练】1.如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，AF=x(0.2≤x≤0.8)，EC=y.则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是()【解析】选C.由题意知，△ADF∽△BEF，所以，即所以，y与x之间的函数关系是反比例函数，所以选C.ADAFBEBF1x1xBEBE1xx－，，1x1y1xx－2.已知矩形的面积为36cm2，相邻两条边长分别为xcm和ycm，则y与x之间的函数图象大致是()【解析】选A.依题意，xy=36，∴，其图象为位于一、三象限的双曲线，且在每个象限内y随x的增大而减小.又∵x0，∴图象为第一象限的一个分支，故选A.36yx热点考向与反比例函数有关的综合题【例】如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线相交于A(-1，a)、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.(1)求m，n的值；(2)求直线AC的解析式.nyx【思路点拨】(1)(2)待定系数法确定解析式A(-1，2)C(1，0)【自主解答】(1)∵直线y=mx与双曲线相交于A(-1，a)，B两点，∴A，B两点关于原点O对称.∵A(-1，a)，∴B点横坐标为1，而BC⊥x轴，∴C(1，0).∵△AOC的面积为1，∴A(-1，2).将A(-1，2)代入y=mx，，可得m=-2，n=-2.nyxnyx(2)设直线AC的解析式为：y=kx+b(k≠0).∵y=kx+b经过点A(-1，2)，C(1，0)，∴解得k=-1，b=1.∴直线AC的解析式为y=-x+1.kb2kb0，，【规律方法】一次函数与反比例函数的综合应用的三个方面1.探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法.2.探求两函数解析式常利用两函数图象的交点坐标.3.探求两图象交点坐标，常利用解方程(组)的方法求解.【真题专练】1.如图，正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E(-1，2)，若y1y20，则x的取值范围在数轴上表示正确的是()【解析】选A.∵正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E(-1，2)，∴根据图象可知当y1y20时x的取值范围是x-1，∴在数轴上表示为：，故选A.2.已知反比例函数(k≠0)和一次函数y=x-6，(1)若一次函数与反比例函数的图象交于点P(2，m)，求m和k的值.(2)当k满足什么条件时，两函数的图象没有交点？kyx【解析】(1)把点P(2，m)代入y=x-6，得m=-4，∴P(2，-4).将P(2，-4)代入反比例函数，得k=-8.(2)由得=x-6，∴x2-6x-k=0，∵两函数的图象没有交点，∴(-6)2+4k0，即k-9.kyxkyxyx6，－，kx3.已知反比例函数(m为常数)的图象在一、三象限.(1)求m的取值范围.(2)如图，若该反比例的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(-2，0).①求出函数解析式；②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，则P点的坐标为；若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为个.12myx－＝【解析】(1)根据题意，得1-2m0，解得m.∴m的取值范围是m.(2)①∵四边形ABOD是平行四边形，A(0，3)，B(-2，0)，∴D(2，3).把D(2，3)代入，得∴1-2m=6.∴函数关系式为.②点P坐标为(3，2)或(-2，-3)或(-3，-2)；点P的个数为2个.121212myx－＝12m3.2－＝6yx＝命题新视角反比例函数中的面积问题【例】如图，函数y=-x与函数y=-的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D.则四边形ACBD的面积为()A.2B.4C.6D.84x【审题视点】创新点把图形面积转化为反比例函数的比例系数的绝对值切入点(1)首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系(2)再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积【自主解答】选D.∵过函数的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，∴S△AOC=S△ODB=|k|=2.又∵OC=OD，AC=BD，∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2，∴四边形ACBD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8.故选D.4yx－12【规律方法】反比例函数(k≠0)中比例系数k的几何意义1.过双曲线(k≠0)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形OAPB的面积为|k|.2.过双曲线(k≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.kyxkyxkyxk2【真题专练】1.如图，A，B两点在双曲线上，分别经过A，B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=()A.3B.4C.5D.64yx【解析】选D.∵点A，B是双曲线上的点，分别经过A，B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4-1×2=6.4yx2.如图，反比例函数在第二象限的图象上有两点A，B，它们横坐标分别为-1，-3，直线AB与x轴交于点C，