等差数列的前n项和优质课比赛课件

2.3等差数列的前n项和上页下页高斯（Gauss,1777—1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”.上页下页有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.老师问：高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景问题就是：计算1＋2＋3＋…＋99＋100上页下页高斯的算法计算：1＋2＋3＋…＋99＋100高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，……每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？上页下页若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层有很多支铅笔，老师说有n支。问：这个V形架上共放着多少支铅笔？创设情景问题就是：1＋2＋3＋…＋(n-1)＋n若用首尾配对相加法，需要分类讨论.三角形平行四边形上页下页nn)1(321计算：2)1()1(321nnnnn＋(n-1)＋(n-2)＋…＋2＋1倒序相加法那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？前n项和)1()1(3212nnnn分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.①②上页下页123nnSaaaa12()nnSnaa1213212nnnnnSaaaaaaaa121321nnnnaaaaaaaa又问题分析已知等差数列｛an｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn.如何才能将等式的右边化简？121nnnnSaaaa1()2nnnaaS即①②上页下页由此得到等差数列的{an}前n项和的公式2)(1nnaanS即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成dnnnaSn2)1(1差由等数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。个个可求另已知其中个量：公式共涉及到23.,,,,51nnSanda知三求二上页下页公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.na1an1()2nnnaaS上页下页公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.a1(n-1)dna1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.1(1)2nnnSnad上页下页公式应用根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn：（1）a1=5，an=95，n=10（2）a1=100，d=－2，n=5050025501()12nnnaaS解：10(595)25001(1)22nnnSnad解：50(501)50100-222550上页下页已知等差数列{an}．(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.[思路探索]根据等差数列前n项和公式解方程．题型一与等差数列前n项和有关的基本量的计算【例1】(1)a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求n和d.解(1)由题意，得Sn＝na1＋an2＝n56－322＝－5，解得n＝15.又a15＝56＋(15－1)d＝－32，上页下页∴d＝－16.(2)由已知，得S8＝8a1＋a82＝84＋a82，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．上页下页在等差数列{an}中；(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.【变式1】解(1)S5＝5a1＋5×42d＝5，a6＝a1＋5d＝10，解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16.S10＝10a1＋10×92d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)S17＝17×a1＋a172＝17×a3＋a152＝17×402＝340.上页下页解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列{an}，【例2】2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？故，该市在未来10年内的总投入为答：从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.1010(101)=10500+502S=7250()万元且a1=500,d=50,n=10.题型二利用等差数列求和公式解决实际问题上页下页【变式2】一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1，n=19.1919191192115702S块答：屋顶斜面共铺瓦片570块.于是，屋顶斜面共铺瓦片：上页下页题型三利用Sn求an已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.解(1)当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.(2)当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.又当n＝1时，a1＝21－1＝1≠5，【例3】[思路探索]利用an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2求an.∴an＝5n＝12n－1n≥2.上页下页(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错．(2)在书写{an}的通项公式时，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2表示．上页下页已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求an.解a1＝S1＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，当n＝1时也适合，∴an＝4n＋1.【变式3】上页下页【例4】已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式1(1)2nnnSnad可得111045310201901220adad146ad于是，所以2(1)4632nnnSnnn＝题型四已知等差数列的某些项的和求出n项和上页下页【例4】已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？1101011010()310622aaSaa①1202012020()12201222aaSaa②201060aa1060d6d14a21132nnnSandnn（）另解：两式相减得上页下页一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．[思路探索]解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解．解法一设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋nn－12d.【变式4】上页下页由已知得10a1＋10×92d＝100100a1＋100×992d＝10①②①×10－②，整理得d＝－1150，代入①，得a1＝1099100.∴S110＝110a1＋110×1092d＝110×1099100＋110×1092×－1150＝1101099－109×11100＝－110.上页下页故此数列的前110项之和为－110.法二数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100为等差数列，设公差为d′，则又∵S10＝100，代入上式得d′＝－22，∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120，∴S110＝－120＋S100＝－110.法三设等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn.∵S10＝100，S100＝10，10S10＋10×92×d′＝S100＝10，上页下页∴102a＋10b＝100，1002a＋100b＝10，∴a＝－11100，b＝11110，∴Sn＝－11100n2＋11110n，∴S110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.上页下页解决此类问题的方法较多，法一、法三是利用方程的思想方法确定出系数，从而求出Sn；法二是利用等差数列的“片断和”性质，构造出新数列，从而使问题得到解决．上页下页课堂小结1．等差数列前n项和的公式；3.公式的应用(知三求二）4.用上页下页（两个）1()2nnnaaS1(1)2nnnSnad)2(111nSSaSannn2．等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；由sn求an时注意对n进行讨论