三角函数公开课(高三复习)

高考大纲（三角函数）•考纲要求：①了解任意角、弧度制的概念，理解任意角三角函数的定义；②理解同角三角函数的基本关系式，能用诱导公式进行化简求值证明；③掌握三角函数的图像与性质，了解函数的图像，了解参数对函数图像变化的影响；④掌握和差角、二倍角公式，能运用公式进行简单的恒等变换；⑤掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，并能解决一些简单的三角形度量问题.•命题规律：本部分常以三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式及诱导公式、和差角二倍角公式为基础考查三角函数的值域、最值、单调性、周期性等问题，而解三角形则以正弦定理、余弦定理为依托考查三角形度量问题高考中的三角函数解答题型解三角形的实际应用向量与三角函数的综合问题解三角形三角函数的图像与性质三角恒等变换考点1.三角恒等变换是高考的热点内容，在解答题中多作为一种化简工具考查，其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重点.2.三角函数的图像与性质是高考考查的另一个热点，侧重于对函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、单调性、对称性以及最值等的考查，常与其他知识交汇以解答题的形式考查，难度中等．3.正弦定理、余弦定理以及解三角形的问题是高考的必考内容．在解答题中主要考查：(1)边和角的计算；(2)面积的计算；(3)有关范围的问题．由于此内容应用性较强，解三角形的实际应用问题也常出现在高考解答题中.考情1．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tanφ＝ba.可利用辅助角公式求最值、单调区间和周期．2．三角形的面积公式(1)S＝12aha＝12bhb＝12chc(ha，hb，hc分别是边a，b，c上的高)；(2)S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB；3．解三角形常见问题(1)已知一边和两角解三角形；(2)已知两边及其中一边的对角解三角形；(3)已知两边及其夹角解三角形；(4)已知三边解三角形；(5)三角形形状的判定；(6)三角形的面积问题；(7)正弦、余弦定理的综合应用.[例1](2013·湖南高考)已知函数f(x)＝cosx·cosx－π3.(1)求f2π3的值；(2)求使f(x)14成立的x的取值集合．三角变换与求值解：(1)f2π3＝cos2π3·cosπ3＝－cosπ3·cosπ3＝－122＝－14.(2)f(x)＝cosx·cosx－π3＝cosx·12cosx＋32sinx＝12cos2x＋32sinxcosx＝14(1＋cos2x)＋34sin2x＝12cos2x－π3＋14.f(x)14等价于12cos2x－π3＋1414，即cos2x－π30.于是2kπ＋π22x－π32kπ＋3π2，k∈Z.解得kπ＋5π12xkπ＋11π12，k∈Z.故使f(x)14成立的x的取值集合为xkπ＋5π12xkπ＋11π12，k∈Z.——————————规律·总结————————————1．条件求值的一般思路(1)先化简所求式子或所给条件；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．2．三角恒等变换的“五遇六想”(1)遇正切，想化弦；(2)遇多元，想消元；(3)遇差异，想联系；(4)遇高次，想降次；(5)遇特角，想求值；(6)想消元，引辅角．——————————————————————练习1.(2013·北京高考)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈π2，π，且f(α)＝22，求α的值．[自主解答](1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x＝cos2xsin2x＋12cos4x＝12(sin4x＋cos4x)＝22sin4x＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin4α＋π4＝1.因为α∈π2，π，所以4α＋π4∈9π4，17π4，即4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.[例2](2013·山东高考文18)设函数f(x)＝32－3sin2ωx－sinωxcosωx(ω＞0)，且y＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值．三角函数的图像与性质[自主解答](1)f(x)＝32－3sin2ωx－sinωxcosωx＝32－3·1－cos2ωx2－12sin2ωx＝32cos2ωx－12sin2ωx＝－sin2ωx－π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin2x－π3.当π≤x≤3π2时，5π3≤2x－π3≤8π3，所以－32≤sin2x－π3≤1.因此－1≤f(x)≤32.故f(x)在区间［π，3π2］的最大值和最小值分别为32，－1.——————————规律·总结————————————研究三角函数图像与性质的常用方法(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后再求解．(2)对于形如y＝asinωx＋bcosωx型的三角函数，要通过引入辅助角化为y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2的形式来求．————————————————————————练习2．已知函数f(x)＝(3sinωx＋cosωx)·sin－3π2＋ωx0ω12，且函数y＝f(x)的图像的一个对称中心为5π3，a.(1)求a的值和函数f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足2a－cb＝cosCcosB，求函数f(A)的取值范围．解：(1)f(x)＝(3sinωx＋cosωx)cosωx＝32sin2ωx＋12cos2ωx＋12＝sin2ωx＋π6＋12.据题意，2ω·5π3＋π6＝kπ，k∈Z，ω＝6k－120，k∈Z，∵0ω12，∴当k＝1时，ω＝14.从而f(x)＝sin12x＋π6＋12，故a＝12.2kπ＋π2≤12x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，单调递减区间是4kπ＋2π3，4kπ＋8π3，k∈Z.(2)2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC,2sinAcosB＝sin(B＋C)，cosB＝12，∴B＝π3.f(A)＝sin12A＋π6＋12，0A2π3，故π612A＋π6π2，1f(A)32，即f(A)∈1，32.[例3]在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sinBsinC的值．正弦、余弦定理及解三角形[自主解答](1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝12或cosA＝－2(舍去)．因为0Aπ，所以A＝π3.(2)由S＝12bcsinA＝12bc·32＝34bc＝53，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝21.又由正弦定理得sinBsinC＝basinA·casinA＝bca2sin2A＝2021×34＝57.——————————规律·总结————————————三角形的基本量的求法(1)先将几何问题转化为代数问题，若要把“边”化为“角”，常利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，若要把“角”化为“边”，常利用sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，cosC＝a2＋b2－c22ab等；(2)然后利用三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出三角形的基本量．————————————————————————练习3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sinAsinC＝3－14，求C.解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝－12，因此B＝120°.(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝12＋2×3－14＝32，故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.