截长补短法

“截长补短法”在角的平分线问题中的运用人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，在Rt△ADE与Rt△CDF中，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180°例2.如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD上截取CF=BC，如图2-2在△FCE与△BCE中，∴△FCE≌△BCE（SAS）,∴∠2=∠1.又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC.例3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2∵∠1=∠2，且PD⊥BC，∴PE=PD，在Rt△BPE与Rt△BPD中，∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD.∵AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在Rt△APE与Rt△CPD中,∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD又∵∠BAP+∠PAE=180°.∴∠BAP+∠BCP=180°例4.已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，在△ABD与△AED中,∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，如图4-3在△AFD与△ACD中,∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB.∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.由角平分线引出的线段关系一.过三角形一边的两个顶点分别作两个内角的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边相截，则截线长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和。已知：如图1，、的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于D，交AC于E，求证：图1证明：BF平分，BE//BC同理可证即二.过三角形两个外角（或一个内角与一个外角）的平分线的交点作平行截线，三条截线段的关系又怎么样？请看以下例证。例1.已知：如图2，D是的外角，的平分线AD、CD的交点，过D作EF//AC，交BA的延长线于E，交BC的延长线于F。图2试指出AE、FC、EF的关系。分析：AD平分，EF//AC同理可证。而例2.已知，如图3，D是的内角与外角的平分线BD与CD的交点，过D作DE//BC，交AB于E，交AC于F。试确定EF、EB、FC的关系。图3分析：BD平分，DE//BC易证又，CD平分而因此，这道习题的命题可推广为：过三角形一边的两个顶点分别作两个内角或两个外角（一个内角与一个外角）的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边或两边的延长线相截，则截线段的长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和（或差）。三角形角平分线的应用例析三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明．一、“以角平分线为轴翻折”构造全等三角形此情形可构造两种基本图形如图1、2所示：如图1，以AD为轴翻折，使点C落在AB上（即在AB上截取AE=AC），得△ACD≌△AED．如图2，以AD为轴翻折，使点B落在AC的延长线上（即延长AC到E，使AE=AB），得△ABD≌△AED．例1如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B∶∠C的值．（河南省中考题）解法1：在AC上截取AE=AB，连结AE．∵∠BAD=∠DAE，AD=AD，∴△ABD≌△AED，∴∠B=∠AED，BD=DE．又∵AB+BD=AC，∴CE=BD=DE，∴∠C=∠EDC，∴∠B=∠AED=2∠C，∴∠B∶∠C=2∶1．解法2：延长AB到E，使AE=AC，连结DE．请读者一试．二、“角平分线+垂线”构造全等三角形或等腰三角形1、根据角平分线的性质作垂线：自角的平分线上任一点向两边作垂线，得两个全等的直角三角形；2、根据等腰三角形的“三线合一”性质作垂线：自角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截的一个等腰三角形．例2如图4，在四边形ABCD中，BCBA，AD=DC，BD平分∠ABC．求证：∠A+∠C=180°．证明：过点D作DE⊥AB，交BA延长线于点E，作DF⊥BC，交BC于点F．∵BD平分∠ABC，∴DE=DF．又∵AD=DC，∴Rt△EAD≌Rt△FCD，∴∠C=∠EAD．∵∠EAD+∠BAD=180°，∴∠C+∠BAD=180°．例3如图5，已知等腰Rt△ABC中，∠A=90°，∠B的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E．求证：BD=2CE.证明：延长CE交BA的延长线于点F．∵BE是∠B的平分线，BE⊥CF，∴∠BCF=∠F，∴△FBC是等腰三角形．∴CE=FE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠ABD=∠ACF，∠BAD=∠CAF=90°，∴Rt△BAD≌Rt△CAF．BD=CF=2CE．三、“角平分线+平行线”构造等腰三角形1、自角的平分线上任一点作角的一边的平行线交另一边，得等腰三角形；2、自角的一边上任一点作角平分线的平行线交另一边的反向延长线，得等腰三角形．例4如图6，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E．若BD+EC=9，则线段DE的长为（）A.9；B.8；C.7；D.6.（河北省中考题）解：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC．∵∠FBC=FBD，∴∠DFB=FBD，∴DF=BD．同理可证，FE=EC．∵DF+FE=DE，∴BD+EC=DE，即DE=9.故应选A.例5如图7，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是BC中点，EF∥AD，交AB于M，交CA的延长线于F，求证：BM=CF．证明：作CN∥EF交BA的延长线于N．∵E是BC中点，∴BM=MN．∵∠BAD=∠CAD，EF∥AD，∴∠F=∠FMA，∴AM=AF．又∵CN∥EF，∴∠N=∠ACN，∴AN=AC．∴AC+AF=AN+AM=BM，∴BM=CF．总之，三角形的角平分线问题的辅助线的添加，一般不外乎以上三种情形，只要根据题目所给的条件，灵活选用上述三种构图方法，问题可获得解答．