人教版高中数学选修23课件132

数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动自主学习新知突破数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动1．了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题．2．了解二项式系数的性质并能简单应用．3．掌握“赋值法”并会灵活应用．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：(a＋b)111(a＋b)2121(a＋b)31331(a＋b)414641(a＋b)515101051(a＋b)61615201561数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[问题1]你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？[提示1]在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．[问题2]计算每一行的系数和，你又看出什么规律？[提示2]2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动杨辉三角的特点1．在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数_________．2．在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的_____，即Crn＋1＝________________.相等和Cr－1n＋Crn数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动二项式系数的性质1．对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数________．2．增减性与最大值．当n为偶数时，中间的一项取得最大值；当n为奇数时，中间的两项_____________，__________相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数的和．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝_______.相等Cn－12nCn＋12n2n数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动关于二项式系数的三条性质的说明：(1)对称性，这条性质可以从图象上直接看出，对称轴是k＝n2，还可以结合等式Cmn＝Cn－mn来理解．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(2)增减性与最大值，这条性质也可以从图象上直观看出．在证明增减性时，要注意n是固定的，变量是k.另外，由等式CknCk－1n＝n－k＋1k及组合数都是正整数可知，我们可以通过比较n－k＋1k与1的大小关系，来得出关于增减性的结论，在理解增减性和最大值时，数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动根据n的奇偶性确定相应的分界点，可结合函数图象进行分析．由于对称轴是k＝n2，因此，当n是偶数时，k＝n2时取得最大值Cn2n；当n是奇数时，n2不是整数，由对称性知，k应取与n2最近的两个整数n－12，n＋12，即最大值是Cn-12n或Cn+12n.(3)各项系数的和，从(1＋x)n＝1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋xn出发，通过对x“赋值”的方法得到．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动1．在(a＋b)10的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是()A．第8项B．第7项C．第9项D．第10项解析：由组合数性质知C210＝C810，故与第3项二项式系数相同的项是第9项．故选C.答案：C数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动2．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于()A．8B．9C．10D．11解析：只有x5的系数最大，x5是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n＝10.答案：C数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动3．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．解析：依题可得a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝16，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.答案：－256数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动4．已知x＋12xn的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x项的系数及二项式系数．解析：x＋12xn展开式的通项公式Tr＋1＝Crn·(x)n－r12xr＝12rCrnxn－2r2.由题意知：C0n，12C1n，14C2n成等差数列，数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动则C1n＝C0n＋14C2n，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．∴Tr＋1＝12rCr8x4－r.令4－r＝1，得r＝3，∴含x项的系数为123C38＝7，二项式系数为C38＝56.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动合作探究课堂互动数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动与“杨辉三角”有关的问题如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，求S19.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[思路点拨]解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，利用组合的性质求和．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C211)＝2＋10×92＋C312＝274.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[规律方法]解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动1．(1)如图所示，满足①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n≥2)的第2个数是________；数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(2)如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．解析：(1)由图中数字规律可知，第n行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝nn－12＋1.(2)由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.答案：(1)n2－n＋22(2)2n－1数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动二项展开式系数和问题已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[思路点拨]数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1，①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.(4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)，∴由(2)(3)即可得其值为2187.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[规律方法]1.赋值法是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几组值，解决问题时要避免漏项等情况．2．一般地，二项式展开式f(x)的各项系数的和为f(1)，奇次项系数和为12[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为12[f(1)＋f(－1)]．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.解析：(1)令x＝0，则a0＝－1，令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128①∴a1＋a2＋…＋a7＝129.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7②由①－②2，得a1＋a3＋a5＋a7＝12[128－(－4)7]＝8256.(3)由①＋②2，得a0＋a2＋a4＋a6＝12[128＋(－4)7]＝－8128.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动二项式系数的性质已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[思路点拨]数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(1)令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，2分又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍)，或2n＝32，∴n＝5.4分数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3＝C25(x23)3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x23)2(3x2)3＝270x223.6分数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr53r·x23(5＋2r)．假设Tr＋1项系数最大，则有Cr53r≥Cr－15·3r－1，Cr53r≥Cr＋15·3r＋1，8分∴5！5－r！r！×3≥5！6－r！r－1！，5！5－r！r！≥5！4－r！r＋1！×3.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动∴3r≥16－r，15－r≥3r＋1.∴72≤r≤92，∵r∈N，∴r＝4.10分∴展开式中系数最大的项为T5＝C45x23(3x2)4＝405x263.12分数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[规律方法]1.求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动3．在x－2x28的展开式中，(1)求二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项是第几项？解析：(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．故T5＝C48·24·x4－202＝1120x－6.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(2)因Tk＋1＝Ck8·(x)8－k－2x2