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-1-三平面与圆锥面的截线-2-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.了解不平行于底面且不通过圆锥的顶点的平面截圆锥的形状是椭圆、抛物线、双曲线.2.感受平面截圆锥的形状,并从理论上证明.3.通过Dandelin双球探求双曲线的性质,理解这种证明问题的方法.-3-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1231.定理2文字语言如果用一个平面去截一个正圆锥(两边可以无限延伸),而且这个平面不通过圆锥的顶点,会出现三种情况:如果平面与一条母线平行,那么平面就只与正圆锥的一半相交,这时的交线是一条抛物线;如果平面不与母线平行,当平面只与圆锥的一半相交,这时的交线为椭圆;当平面与圆锥的两个部分都相交,这时的交线叫做双曲线-4-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123符号语言在空间中,取直线l为轴,直线l'与l相交于O点,夹角为α,l'围绕l旋转得到以O为顶点,l'为母线的圆锥面.任取平面π,若它与轴l的交角为β(当π与l平行时,记β=0),则(1)βα,平面π与圆锥的交线为椭圆;(2)β=α,平面π与圆锥的交线为抛物线;(3)βα,平面π与圆锥的交线为双曲线图形语言作用确定交线的形状-5-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123名师点拨2.圆锥曲线的统一性,椭圆为封闭图形,双曲线、抛物线为不封闭图形,其图形不一样,但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到,因此,圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数,即离心率e.1.特殊情况:β=π2,平面π与圆锥的交线为圆,如图.-6-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1232.圆锥曲线的结构特点(1)椭圆上的点到两个定点(焦点)的距离之和为常数(长轴长2a).(2)双曲线上的点到两个定点(焦点)的距离之差的绝对值为常数(2a).(3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离相等.【做一做1】双曲线上任意一点到两个焦点的距离分别是d1和d2,则下列为常数的是()A.d1-d2B.d1+d2C.|d1-d2|D.d2-d1答案:C-7-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1233.圆锥曲线的几何性质(1)焦点:Dandelin球与平面π的切点.(2)准线:截面与Dandelin球和圆锥交线所在平面的交线.(3)离心率:e=cos𝛽cos𝛼.-8-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123(4)圆锥曲线的几何性质项目椭圆双曲线抛物线焦点2个2个1个准线2条2条1条离心率e=𝑐𝑜𝑠β𝑐𝑜𝑠α1e=𝑐𝑜𝑠β𝑐𝑜𝑠α1e=1焦距F1F2=2cc2=a2-b2F1F2=2cc2=a2+b2离心率e=cae=ca准线间距2a2c2a2c曲线上的点与焦点的关系PF1+PF2=2a|PF1-PF2|=2a-9-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做2-1】设截面和圆锥的轴的夹角为β,圆锥的母线和轴所成角为α,当截面是椭圆时,其离心率等于()答案:B【做一做2-2】双曲线的焦距为4,实轴长为3,则离心率e=.解析:设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则2c=4,2a=3,A.sin𝛽sin𝛼B.cos𝛽cos𝛼C.sin𝛼sin𝛽D.cos𝛼cos𝛽于是c=2,a=32.故e=𝑐𝑎=43.答案:43-10-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航在定理2中,当βα时,探究截线形状剖析:如图,当βα时,平面π与圆锥面的两部分相交,在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球,与平面π的两个切点分别为F1,F2,与圆锥两部分截的圆分别为S1,S2.在截口上任取一点P,连接PF1,PF2.过点P和圆锥的顶点O作母线,分别与两球切于Q1,Q2点,则PF1=PQ1,PF2=PQ2,所以|PF1-PF2|=|PQ1-PQ2|=Q1Q2,所以Q1Q2是两圆S1,S2所在平行平面间的母线段的长,且为定值.所以由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲线.-11-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一利用Dandelin双球研究圆锥曲线【例1】如图,讨论其中双曲线的离心率.其中π'是Dandelin球与圆锥交线S2所在的平面,与π的交线为m.-12-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:点P是双曲线上任意一点,连接PF2,过点P作PA⊥m于点A,连接AF2,过点P作PB⊥平面π'于点B,连接AB,过点P作母线交S2于点Q2.∵PB平行于圆锥的轴,∴∠BPA=β,∠BPQ2=α.反思讨论圆锥曲线的几何性质时,要注意结合图形进行.在Rt△BPA中,PA=𝑃𝐵cos𝛽.在Rt△BPQ2中,PQ2=𝑃𝐵cos𝛼.由切线长定理,得PF2=PQ2,∴PF2=𝑃𝐵cos𝛼.∴e=𝑃𝐹2𝑃𝐴=cos𝛽cos𝛼.∵0βαπ2,∴cosβcosα.∴e1.同理,另一分支上的点也具有同样的性质,综上所述,双曲线的准线为m,离心率e=cos𝛽cos𝛼.-13-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】在圆锥内部嵌入Dandelin双球,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥均相切.若平面π与双球的切点不重合,则平面π与圆锥面的截线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:由于平面π与双球的切点不重合,则平面π与圆锥母线不平行,且只与圆锥的一半相交,则截线是椭圆.答案:B-14-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二圆锥曲线几何性质应用【例2】已知双曲线两个顶点间的距离为2a,焦距为2c,求两条准线间的距离.解:如图,l1,l2是双曲线的准线,F1,F2是焦点,A1,A2是顶点,O为中心.由离心率定义知𝐴1𝐹1𝐴1𝐻1=𝑐𝑎,∴A1H1=𝑎𝑐𝐴1𝐹1.又A1F1=OF1-OA1=c-a,∴A1H1=𝑎(𝑐-𝑎)𝑐.∴𝑂𝐻1=𝑂𝐴1−𝐴1𝐻1,∴OH1=a−𝑎(𝑐-𝑎)𝑐=𝑎2𝑐.由对称性,得OH2=𝑎2𝑐,∴𝐻1𝐻2=2𝑎2𝑐.-15-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思已知圆锥曲线的结构特点,解决有关计算等问题时,通常利用圆锥曲线中的数量关系,如e=𝑐𝑎等,列出方程来解决.如本题中,由OH1=OA1-A1H1得到a−𝑎(𝑐-𝑎)𝑐=𝑎2𝑐.-16-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】顶角为60°的圆锥面中有一个半径为2的内切球,以该球为焦球作一截面,使截线为抛物线,求该抛物线的顶点到焦点的距离𝑝2和截面与轴的交点到圆锥顶点的距离.-17-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:如图是圆锥的截面,其中点P为抛物线的顶点,点Q为抛物线的焦点,点M为截面与轴的交点,连接OA,OQ.设A,B为球与圆锥的母线的切点.由∠ASB=60°,∴∠ASO=30°.又OA=2,OA⊥SA,∴OS=4,易知OP⊥OS,又PM∥SB,∴∠PMS=∠OSB=∠OSA,∴SM=2OS=8.∴OP=OStan30°=433,∴𝑝2=𝑃𝑄=𝑂𝑃2-𝑂𝑄2=233.-18-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三易错辨析易错点:错用圆锥曲线的离心率公式而致错【例3】已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形,用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线的离心率为()A.62B.63C.32D.22错解:因为圆锥面的截面为等腰直角三角形,所以母线与轴线的夹角为45°.又因为截面与轴线的夹角为30°,所以截线的离心率为e=cos45°cos30°=23=63,故选B.-19-三平面与圆锥面的截线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三错因分析:上述解法错误的原因是错用圆锥曲线的离心率公式e=cos𝛽cos𝛼,其中β为平面与轴的交角,α为母线与轴的交角.正解:A解析:∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形,所以母线与轴线的夹角α=45°.又截面与轴线的夹角β=30°,即βα,∴截线是双曲线,其离心率e=cos𝛽cos𝛼=cos30°cos45°=32=62.