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第二章点、直线、平面之间的位置关系知能整合提升1．线线关系空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．(1)证明线线平行的方法①线线平行的定义；②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b；④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(2)证明线线垂直的方法①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；②线面垂直的性质结论：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；③线面垂直的性质结论：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.2．线面关系直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种．(1)证明直线与平面平行的方法①线面平行的定义；②线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；③面面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β.(2)证明直线与平面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理：m，n⊂α，m∩n＝Al⊥m，l⊥n⇒l⊥α；③平行线垂直平面的传递性：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；④面面平行的性质结论：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.3．面面关系两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．(1)证明面面平行的方法①面面平行的定义；②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β；③线面垂直的性质结论：垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β⇒α∥β；④公理4的推广：平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.(2)证明面面垂直的方法①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.4．平行关系与垂直关系的转化解题时需把握原则：由已知想性质，由求证想判定．并注意适当添加辅助线(或辅助面)实现转化．5．空间角的计算问题(1)异面直线所成的角：通过作其中一条直线的平行线，转化为相交直线所成的角，范围是(0°，90°]．(2)直线与平面所成的角：依据线面垂直，确定斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成的角即为所求，范围是[0°，90°]．(3)二面角：过两平面的交线上一点分别在两个平面内确定垂直于交线的直线，二者的夹角即为二面角的平面角，范围是[0°，180°]．空间角的计算步骤：一作、二证、三计算．热点考点例析公理的应用及空间中的位置关系1．公理的应用(1)证明共面问题．证明共面问题的方法一般有两种：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．(2)证明三点共线问题．通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出其中两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是这两个平面的公共点，则第三点必然在这两个平面的交线上．(3)证明三线共点问题．证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．2．空间中的点、线、面位置关系的判定(1)首先清楚线线、线面、面面的位置关系及分类标准，其次在判定时不但要根据位置关系的定义，还要根据具体的题目条件与线线、线面、面面的判定及性质定理．(2)在判定点、线、面的位置关系时，要特别注意思维的严谨性，要注意线线、线面、面面判定及性质定理应用的前提条件．如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)EG与HF的交点在直线AC上．[规范解答](1)∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD.又EF∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．(2)∵G，H不是BC，CD的中点，∴EF∥GH，且EF≠GH，∴EG与FH必相交．设交点为M，而EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD，∴M∈AC，即GE与HF的交点在直线AC上．1．已知：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为8cm，M，N，P分别是AB，A1D1，BB1的中点．(1)画出过M，N，P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线；(2)设过M，N，P三点的平面与B1C1交于一点，求P与该点连线段的长．解析：(1)如图，设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AB1交于MP.设MP∩A1B1＝R，则RN是α与平面A1B1C1D1的交线．设RN∩B1C1＝Q，则PQ是α与平面BB1C1C的交线．(2)由正方体的棱长为8cm，M，P分别为AB，BB1的中点，∴B1R＝BM＝4cm.在△RA1N中，B1QA1N＝RB1RA1，∴B1Q＝412×4＝43(cm)．在Rt△PB1Q中，∵PB1＝4cm，B1Q＝43cm，∴PQ＝42＋432＝4310(cm)．∴PQ的长为4310cm.平行、垂直关系的判定与性质1．平行、垂直关系的相互转化2．核心问题分析“线面垂直”是核心内容，原因一：立体图形中的“平行的”直观上看仍然“平行”，而“垂直的”却不然，认知上有难度．原因二：由上面的“转化图”知线面垂直是认识图形的切入口，又是解决线面位置关系的枢纽．3．证明空间线面平行或垂直需注意三点：(1)由已知想性质，由求证想判定．(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．[特别提醒]若题目条件中有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ACC1A1与底面垂直，且AB＝AC，CC1＝BC1，∠BAC＝90°，∠BCC1＝60°.(1)求证：BC1⊥AC；(2)若N为A1C1的中点，问侧棱BB1上是否存在一点M，使MN∥平面ABC1？请说明理由．[规范解答](1)证明：由题意，侧面ACC1A1⊥底面BAC，且AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1，∴AB⊥AC1.∵CC1＝BC1，且∠BCC1＝60°，∴△BCC1为等边三角形，∴BC＝BC1，∴△ABC≌△ABC1，∴AC＝AC1.又CC1＝BC＝2AC，∴AC2＋AC21＝CC21，∴AC⊥AC1.又AC⊥AB，AB∩AC1＝A，∴AC⊥平面ABC1，又BC1⊂平面ABC1，∴BC1⊥AC.(2)如图，当M为侧棱BB1的中点时，有MN∥平面ABC1.证明如下：分别取AA1，BB1的中点D，M，连接DM，DN，则DN∥AC1，DM∥AB.∴DN∥平面ABC1，DM∥平面ABC1，又DM∩DN＝D，∴平面DMN∥平面ABC1，又MN⊂平面DMN，∴MN∥平面ABC1.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB.解析：(1)证明：连接BD，四边形ABCD为菱形．∵AD＝AB，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．又Q为AD的中点，∴AD⊥BQ.∵PA＝PD，Q为AD的中点，∴AD⊥PQ.又BQ∩PQ＝Q，∴AD⊥平面PQB.又AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD.(2)当t＝13时，使得PA∥平面MQB.理由是：连接AC交BQ于N，交BD于O，则O为BD的中点，又∵BQ为△ABD的边AD上的中线，∴N为正三角形ABD的中心．令菱形ABCD的边长为a，则AN＝33a，AC＝3a.∵PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN，∴PA∥MN，则PMPC＝ANAC＝33a3a＝13，即PM＝13PC，故t＝13.空间角的求法1．空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角．这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置关系进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何的知识熟练解题．空间角的题目一般都是各种知识的交汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应引起足够重视．2．求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．3．求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．4．二面角的平面角的作法常有三种：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法．总之，求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作、二证、三计算．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求BC1与平面ACC1A1所成的角；(2)求A1B1与平面A1C1B所成的角的余弦值．[规范解答](1)∵A1A⊥面ABCD，∴A1A⊥BD.连接AC交BD于O，则BD⊥AC.∴BD⊥平面ACC1A1.连接C1O，则∠OC1B为BC1与平面ACC1A1所成的角．在Rt△OC1B中，sin∠OC1B＝OBBC1＝12，∴∠OC1B＝30°.即BC1与平面ACC1A1所成的角为30°.(2)△A1BC1是正三角形，且A1B1＝B1C1＝BB1，则棱锥B1－A1BC1是正三棱锥．过B1作B1H⊥平面A1BC1，垂足为H，连A1H，∠B1A1H是A1B1与平面A1C1B所成的角．设A1B1＝a，则A1B＝2a，得A1H＝63a，故cos∠B1A1H＝A1HA1B1＝63.即A1B1与平面A1C1B所成角的余弦值为63.3．在底面是等腰梯形的四棱锥S－ABCD中，AD＝BC，AB＝2CD＝2SD，∠DAB＝60°，SD⊥底面ABCD.求：(1)侧面SAB与底面ABCD所成二面角的平面角的正切值；(2)侧棱SB与底面ABCD所成的角．解析：(1)如图所示，作SE⊥AB交AB于E，连接DE.因为SD⊥面ABCD，所以AB⊥SD，则AB⊥面SDE，所以DE⊥AB，则∠DES即为所求二面角的平面角．设SD＝CD＝a，所以AB＝2a，AE＝a2，所以DE＝a2·tan60°＝32a.所以tan∠DES＝DSDE＝23＝233.即二面角的平面角的正切值为233.(2)连接DB，则∠SBD即为直线SB与平面ABCD所成的角．因为BD＝DE2＋BE2＝3a，所以tan∠SBD＝SDBD＝33，所以∠SBD＝30°.即侧棱SB与底面ABCD所成角为30°.折叠问题中的线、面位置关系平面图形沿着某一直线翻折成为空间图形的题目在立体几何中是很常见的．对于这类问题，关键是要注意折叠前后的变量与不变量，抓住了折叠前后的变量与不变量，也就抓住了解折叠问题的要害．折叠前后，同一半平面内的数量关系与位置关系均不发生改变．在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝a，∠ABC＝90°，∠BCD＝135°，沿AC将四边形折成直二面角B－AC－D.(1)求证：平面ABC⊥平面BCD；(2)求平面ABD与平面ACD所成的角．[规范解答]如图，其中(1)是平面四边形，(2)是折后的立体图形．(1)证明：∵平面ABC⊥平面ACD，交线为AC，在平面图形中AB＝BC，∠ABC＝90°，∠BCD＝135°，∴∠ACD＝90°，CD⊥AC.∴CD⊥平面ABC.又∵CD⊂平面BCD，∴平面ABC⊥平面BCD.(2)过点B作BE⊥AC，E为垂足，则BE⊥平面ACD.又过点E在平面ACD内作EF⊥AD，F为垂足，连接BF.由已知可得BF⊥AD.∴∠BFE是二面角B－AD－C的平面角．∵点E为AC中点，∴AE＝12AC＝22a.又sin∠DAC＝CDAD＝33，EF＝33AE，∴EF＝22a·33＝66a，tan∠BFE＝BEEF＝3.∴∠BFE＝60°，即平面ABD与平面ACD所成的二面角为60°.4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为BC的中点．把△ABE，△CDE分别沿AE，DE向上折起，使B，C重合于点P，求二面角P－AD－E的大小．解析：取AD的中点F，连接EF，PF.∵在