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第二章§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用；3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学新知探究点点落实知识点一直线与平面垂直的定义思考1在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？答案不变，90°.答案答案定义如果直线l与平面α内的_________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法______有关概念直线l叫做平面α的_____，平面α叫做直线l的____，它们唯一的公共点P叫做_____图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直任意一条l⊥α垂线垂足垂面知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？答案不一定.思考2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？答案当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直.答案答案文字语言一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，______＝P⇒l⊥α图形语言两条相交直线a∩b知识点三直线与平面所成的角答案有关概念对应图形斜线与平面α_____，但不和平面α_____，图中斜足斜线和平面的，图中射影过斜线上斜足以外的一点向平面引，过和的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为_______相交垂直直线PA交点点A垂线垂足斜足直线AO答案直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是取值范围设直线与平面所成的角为θ，____________∠PAO90°0°0°≤θ≤90°返回题型探究重点难点个个击破类型一直线和平面垂直的定义例1下列命题中，正确的序号是________.①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.反思与感悟解析答案跟踪训练1下面叙述中：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析答案类型二线面垂直的判定例2在平面α内有直角∠BCD，AB⊥平面α，求证CD⊥平面ABC.解如图所示.解析答案AB⊥αCD⊂α⇒AB⊥CD∠BCD＝90°⇒BC⊥CDAB∩BC＝B⇒CD⊥平面ABC.反思与感悟跟踪训练2如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；证明因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.解析答案(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.解析答案类型三直线与平面所成的角例3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；解∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.解析答案(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.解连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角，解析答案反思与感悟设正方体的棱长为1，∴A1B＝2，A1O＝22.又∵∠A1OB＝90°，∴sin∠A1BO＝A1OA1B＝12，∴∠A1BO＝30°.∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.跟踪训练3如图，在三棱锥ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点.(1)证明：A1D⊥平面A1BC.解取BC的中点E，连接A1E，DE，AE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC，故AE⊥平面A1BC，由D，E分别是B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，所以DE∥A1A，所以四边形A1AED是平行四边形，故A1D∥AE，又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.解析答案返回(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.解作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F，A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成的角.解析答案由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°得EA＝EB＝2.，由∠A1EA＝∠A1EB＝90°，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14.由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72.所以sin∠A1BF＝78.123达标检测45解析答案1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交D.不确定解析由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.B12345解析答案2.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A.平行B.相交C.异面D.垂直解析若l∥m，l⊄α，m⊂α，∴l∥α，这与已知l⊥α矛盾.所以直线l与m不可能平行.A123453.如图①，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图②所示的几何体，使G1、G2、G3三点重合于点G，则下面结论成立的是()A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.GD⊥平面SEF解析在图①中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，因此在图②中，SG⊥GE，SG⊥GF，又GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG.A解析答案12345解析答案4.如图，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.12345解析答案5.如图，已知PA⊥圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平面PBC.证明∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AC⊥BC，AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.又∵PC⊥AE，BC∩PC＝C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC.规律与方法1.线线垂直和线面垂直的相互转化2.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义.(2)线面垂直的判定定理.(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.返回