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第四节多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分一、链式法则定理dtdvvzdtduuzdtdz且其导数可用下列公式计算[(),()]zfttt则复合函数在对应点可导,),(vufz),(vu函数在对应点具有连续偏导数,可导,()ut)(tvt如果函数及都在点一元复合函数求导法则uvtz(),zzzuvouv()zzuzvotutvttdudtdvdt证()(),uttt则);()(tttvtt设有增量,0lim.tdzzzduzdvdttudtvdt22(()())uv()o△t<0时,取“–”号0t当时,由于函数),(vufz在点故可微,即),(vu有连续偏导数,例1设而()ytsin,xt其中可导,求()t.dzdtxytzdzzdxzdydtxdtydt解zdxzdyxdtydt1.上定理的结论可推广到dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdzuvwtz以上公式中的导数称为全导数.dtdz推广))(),(),((tttfz中间变量多于两个的情况:,zzuzvxuxvxyvvzyuuzyz),(yx的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:(,)uxy),(yxv),(yx如果及都在点),(vufz具有对x和y的偏导数,且函数[(,),(,)]zfxyxy则复合函数在对应点),(vu在对应点具有连续偏导数,2.上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况:uvxzy复合结构如图示xzuzxuvz,xvyzuzyuvz.yv[(,),(,)]zfxyxy链式法则的规律:“连线相乘,分线相加”例2设vezusin,而xyu,yxv,求xz和yz.解xzuzxuvzxv1cossinveyveuu),cossin(vvyeuyzuzyuvzyv1cossinvexveuu).cossin(vvxeuuvxzyzwvuyxxwwzxvvzxuuzxzywwzyvvzyuuzyz[(,),(,),(,)]zfxyxyxy[(,),(,),(,)]zfxyxyxy),(yx在对应点的两个偏导数存在,且可用下列公式计算链式法则的规律:“连线相乘,分线相加”(,),vxy(,),uxy(,)wxy设),(yx都在点具有偏导数,(,,)zfuvw在则复合函数对应点(,,)uvw具有连续偏导数,),,(yxufz(,)uxy即[(,),,],zfxyxy,xfxuufxz.yfyuufyz其中把复合函数[(,),,]zfxyxy中的y看作不变而对x的偏导数把),,(yxufz中的u及y看作不变而对x的偏导数两者的区别yyxzxu区别类似3.中间变量即有一元函数,也有多元函数的情况:把),,(yxufz中的u及y看作不变而对x的偏导数例3设tuvzsin,而teu,tvcos,求全导数dtdz.解tzdtdvvzdtduuzdtdzttuvetcossinttetettcossincos.cos)sin(costttetuvtzt例4设),(xyzzyxfw,f具有二阶连续偏导数,求xw和zxw2.解令,zyxu;xyzv记,),(1uvuff,),(212vuvuffxwxvvfxuuf;21fyzfzywxvuzxw2)(21fyzfz;221zfyzfyzfzf1zvvfzuuf11;1211fxyfzf2zvvfzuuf22;2221fxyf于是zxw21211fxyf2fy)(2221fxyfyz.)(22221211fyfzxyfzxyf12wfyzfxzywxvu,,21ff设函数),(vufz具有连续偏导数,则有全微分dvvzduuzdz;当),(yxu、),(yxv时,有dyyzdxxzdz.全微分形式不变性的实质:无论z是自变量x,y的函数或中间变量u,v的函数,它的全微分形式是一样的.二、全微分形式不变性dxxvvzxuuzdyyzdxxzdzdyyvvzyuuzdyyudxxuuzdyyvdxxvvzduuz.dvvz例5设而cos,uzev,,uxyvxy,.zzxy求解(cos)udzdevcos(sin)uuevduevdv(),dudxyydxxdy(),dvdxydxdy(cossin)(cossin)uuuudzevyevdxevxevdydyyzdxxzdz[cos()sin()]xyeyxyxydx[cos()sin()]xyexxyxydy比较1、链式法则(连线相乘,分线相加)2、全微分形式不变性(特别注意特殊情况:函数的复合结构的层次)小结zzdzdudvuv思考题),,(xvufz(),ux)(xv设,而.dzdx求xfdxdvvfdxduufdxdzdxdzxf试问与是否相同?为什么?uzvxx而等式右端最后一项f是作为xvu,,的三元函数,xxvuxdxduufdxdz),,(.),,(),,(xvuxxvuxfdxdvvfuzvxx(,,),zfuvx(),ux)(xv等式左端的z是作为一个自变量x的函数,写出来为不相同.xfdxdvvfdxduufdxdz作业p.30习题8-42;4;5;8;9;11;12.(1);(3).
本文标题:多元复合函数求导法则
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