2012年高一数学新课程教学课件：2.3函数的单调性(北师大版必修1)

1§3函数的单调性21.了解单调函数、单调区间的概念，能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思.2.理解函数单调性的概念，能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图像指出单调性、写出单调区间.3.掌握运用函数单调性定义解决具体问题的方法，能运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性.3建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系，自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的问题．例如水位的涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的实际问题.下面我们开始研究函数在这方面的一个主要性质——函数的单调性．引入新课4画出下列函数的图像，观察其变化规律：1、从左至右图像上升还是下降?____2、在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着______．f(x)=x(-∞,+∞)增大上升51.在区间______上，f(x)的值随着x的增大而______．2.在区间________上，f(x)的值随着x的增大而_____.f(x)=x2(-∞,0](0,+∞)增大减小画出下列函数的图像，观察其变化规律：6-212345-23-3-4-5-1-112xy如图，你能说出它的函数值y随自变量x的变化情况吗？怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢？7在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么,就称函数y=f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的．1．增函数82．减函数在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么,就称函数y=f(x)在区间A上是减小的，有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的．93.单调区间，单调性，单调函数如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减小的，那么称A为单调区间.如果y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减小的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性.如果y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减小的,我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.101.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；注意：2.必须是对于区间A内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时,总有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)，分别是增函数和减函数.11例1说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性.1()fxx解:（-∞，0）和（0，+∞）都是函数的单调区间，在这两个区间上函数是减小的.1()fxx12证明:设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1x2，则因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数.练习：证明：函数在(0，+∞)上是减函数。1f(x)xf(x1)-f(x2)=21121211.xxxxxx由于x1,x2,得x1x20,又由x1x2,得x2-x10,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).0,13例2证明函数在R上是增函数.f(x)3x2证明：设是R上的任意两个实数,且则:12x,x12xx12()()fxfx123(xx)12xx12xx012f(x)f(x)012f(x)f(x)f(x)3x2在R上是增函数.12(32)(32)xx141.任取x1，x2∈A，且x1x2；2.作差f(x1)－f(x2)；3.变形（通常是因式分解和配方）；4.定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5.下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：15注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的数，因而没有增减变化．因此，在考虑它的单调区间时，端点有定义时包括端点，端点无定义时不包括端点.161.如图,已知y=f(x)的图像(包括端点),根据图像说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.12-2-1-11xyo)(xfy[-2,-1],[0,1]上是减函数;[-1,1],[1,2]上是增函数.172.函数y=│x-2│的单调减区间是___________.（-∞，2）（1，+∞）3.函数的单调增区间是_________.2361yxx1821121212VVkkp(V)p(V)kVVVV证明：根据单调性的定义，设12,VV是定义域(0,)上的任意两个实数，且12VV1212V,V0,VV0由得，1221VVVV0由得，4.物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V减小时，压强将增大，试用函数的单调性证明之.kpv19即12p(V)p(V)12P(V)P(V)0于是，kp,V0,V所以函数是减函数。Vp也就是说，当体积减小时，压力将增大。k0,又由于20⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域.⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设是给定区间内的任意两个值，且12x,x12xx.12f(x)f(x)⑵作差并将此差变形(要注意变形的程度).⑶判断的正负（说理要充分）.12f(x)f(x)⑷根据的符号确定其增减性.12f(x)f(x)