牛顿拉夫逊介绍(原理、计算方法、程序)

3牛顿－拉夫逊法概述3.1牛顿-拉夫逊法基本原理电力系统潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，是对复杂电力系统正常和故障条件下稳态运行状态的计算。潮流计算的目标是求取电力系统在给定运行状态的计算。即节点电压和功率分布，用以检查系统各元件是否过负荷。各点电压是否满足要求，功率的分布和分配是否合理以及功率损耗等。对现有电力系统的运行和扩建，对新的电力系统进行规划设计以及对电力系统进行静态和暂态稳定分析都是以潮流计算为基础。潮流计算结果可用如电力系统稳态研究，安全估计或最优潮流等对潮流计算的模型和方法有直接影响。实际电力系统的潮流技术那主要采用牛顿-拉夫逊法。牛顿--拉夫逊法(简称牛顿法)在数学上是求解非线性代数方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程。即通常所称的逐次线性化过程。对于非线性代数方程组：()0fx即12(,,,)0infxxx(1,2,,)in(3-1)在待求量x的某一个初始估计值(0)x附近，将上式展开成泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的经线性化的方程组：(0)'(0)(0)()()0fxfxx(3-2)上式称之为牛顿法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量(0)'(0)1(0)[()]()xfxfx(3-3)将(0)x和(0)x相加，得到变量的第一次改进值(1)x。接着就从(1)x出发，重复上述计算过程。因此从一定的初值(0)x出发，应用牛顿法求解的迭代格式为：'()()()()()kkkfxxfx(3-4)(1)()()kkkxxx(3-5)上两式中：'()fx是函数()fx对于变量x的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J；k为迭代次数。有上式可见，牛顿法的核心便是反复形式并求解修正方程式。牛顿法当初始估计值(0)x和方程的精确解足够接近时，收敛速度非常快，具有平方收敛特性。牛顿潮流算法突出的优点是收敛速度快，若选择到一个较好的初值，算法将具有平方收敛特性，一般迭代4~5次便可以收敛到一个非常精确的解。而且其迭代次数与所计算网络的规模基本无关。牛顿法也具有良好的收敛可靠性，对于对以节点导纳矩阵为基础的高斯法呈病态的系统，牛顿法也能可靠收敛。牛顿法所需的内存量及每次迭代所需时间均较高斯法多。牛顿法的可靠收敛取决于有一个良好的启动初值。如果初值选择不当，算法有可能根本不收敛或收敛到一个无法运行的节点上。对于正常运行的系统，各节点电压一般均在额定值附近，偏移不会太大，并且各节点间的相位角差也不大，所以对各节点可以采用统一的电压初值(也称为平直电压)，如假定：(0)1iU(0)0i或(0)1ie(0)0if(1,2,,;)iqnis(3-6)这样一般能得到满意的结果。但若系统因无功紧张或其它原因导致电压质量很差或有重载线路而节点间角差很大时，仍用上述初始电压就有可能出现问题。解决这个问题的办法可以用高斯法迭代1~2次，以此迭代结果作为牛顿法的初值。也可以先用直流法潮流求解一次以求得一个较好的角度初值，然后转入牛顿法迭代。3.2牛顿--拉夫逊法潮流求解过程以下讨论的是用直角坐标形式的牛顿—拉夫逊法潮流的求解过程。当采用直角坐标时，潮流问题的待求量为各节点电压的实部和虚部两个分量1212,,,...,nnfffeee由于平衡节点的电压向量是给定的，因此待求两共2(n-1)需要2(n-1)个方程式。事实上，除了平衡节点的功率方程式在迭代过程中没有约束作用以外，其余每个节点都可以列出两个方程式。对PQ节点来说，isisQP和是给定的，因而可以写出()()0()()0iijijiijjijjisjjjjijiijijijjjijjiisijjjijipfffeGeGePBBQQfffGeeGeBB（3-7）对PV节点来说，给定量是isisVP和，因此可以列出2222()()0()0iisijijiijjijjjijjijiiisiifffeGeGePPBBfVVe（3-8）求解过程大致可以分为以下步骤：（1）形成节点导纳矩阵；（2）将各节点电压设初值U（3）将节点初值代入相关求式，求出修正方程式的常数项向量；（4）将节点电压初值代入求式，求出雅可比矩阵元素；（5）求解修正方程，求修正向量；（6）求取节点电压的新值；（7）检查是否收敛，如不收敛，则以各节点电压的新值作为初值自第3步重新开始进行狭义次迭代，否则转入下一步；（8）计算支路功率分布，PV节点无功功率和平衡节点注入功率。以直角坐标系形式表示：○1迭代推算式采用直角坐标时,节点电压相量及复数导纳可表示为:iiiijijijVejfYGjB(3-9)将以上二关系式代入上式中,展开并分开实部和虚部;假定系统中的第1,2,,m号为P—Q节点,第m+1,m+2,,n-1为P—V节点,根据节点性质的不同,得到如下迭代推算式:⑴对于PQ节点1111()()()()nniiiijjijjiijjijjjjnniiiijjijjiijjijjjjPPeGeBffGfBeQQfGeBfeGfBe(3-10)1,2,,im⑵对于PV节点112222()()()nniiiijjijjiijjijjjjIiiiPPeGeBffGfBeVVef(3-11)1,2,,1immn⑶对于平衡节点平衡节点只设一个,电压为已知,不参见迭代,其电压为:nnnVejf(3-12)○2修正方程两组迭代式中包括2(n-1)个方程.选定电压初值及变量修正量符号之后代入,并将其按泰勒级数展开,略去,iief二次方程及以后各项,得到修正方程如下:WJU(3-13)其中，11121121mmmmnnPQPQWPUPU；111111mmmmnnefefUefef。11111111111111111111111111111111mmmmnnmmmmnnmmmmmmmmmmmnPPPPPPPPefefefefQQQQQQQQefefefefPPPPPPPefefefeJ1111111111111111111111222221111111mnmmmmmmmmmmmmnnmmmmmmmmmmmmnnmmmmmmmPfQQQQQQQQefefefefPPPPPPPPefefefefUUUUUefefe2221111111111111111111112222221111111111mmmmmnnnnnnnnnnmmmmnnnnnnnnmmmmUUUfefPPPPPPPPefefefefUUUUUUefefef221111nnnnUUef(3-14)○3雅可比矩阵各元素的算式式(3-14)中,雅可比矩阵中的各元素可通过对式(3-10)和(3-11)进行偏导而求得.当ji时,雅可比矩阵中非对角元素为22()0iiijiijijjiiijiijijjjjPQGeBfefPQBeGffeUUef(3-15)当ji时,雅可比矩阵中对角元素为:111122()()()()22niijjijjiiiiiijiniijjijjiiiiiijjniijjijjiiiiiijiniijjijjiiiiiijjiijiiiPGeBfGeBfePGfBeGfBefQGfBeGfBeeQGeBfGeBffUeeUff(3-16)由式(3-15)和(3-16)看出,雅可比矩阵的特点：○1矩阵中各元素是节点电压的函数,在迭代过程中,这些元素随着节点电压的变化而变化；○2导纳矩阵中的某些非对角元素为零时,雅可比矩阵中对应的元素也是为零.若0ijY,则必有0ijJ；○3雅可比矩阵不是对称矩阵;(1,2,,;)iqnis雅可比矩阵各元素的表示如下：()()()()ijiijiiijijjijjiiiiiijjiGeBfjiPHGeBfGeBfjie（3-17）)()()()ijiijiiijijjijjiiiiiijjiBeGfjiPNGfBeBeGfjif（3-18）)()()()ijiijiiijijjijjiiiiiijjiBeGfjiQMGfBeBeGfjie（3-19）)()()()ijiijiiijijjijjiiiiiijjiGeBfjiQLGeBfGeBfjif（3-19）20()2()iijijjiURejie20()2()iijijjiUSfjif（3-20）3.3牛顿—拉夫逊法的程序框图图3-1牛顿—拉夫逊法的程序框图输入原始数据启动形成导纳矩阵给定电压初值0e、0f置0对于PQ节点，按式3-10计算P、Q对于PU节点，按式3-11计算P、2Q是否,?PQ用式3-15,3-16计算雅克比矩阵各元素解修正方程式，求,ef用1eee，1fff修正节点电压以1ee1ff按系统的潮流分布计算平衡节点功率及线路功率输出以14潮流仿真程序4.1Matlab简介目前电子计算机已广泛应用于电力系统的分析计算，潮流计算是其基本应用软件之一。现有很多潮流计算方法。对潮流计算方法有五方面的要求：（1）计算速度快（2）内存需要少（3）计算结果有良好的可靠性和可信性（4）适应性好，亦即能处理变压器变比调整、系统元件的不同描述和与其它程序配合的能力强（5）简单。MATLAB是一种交互式、面向对象的程序设计语言，广泛应用于工业界与学术界，主要用于矩阵运算，同时在数值分析、自动控制模拟、数字信号处理、动态分析、绘图等方面也具有强大的功能。MATLAB程序设计语言结构完整，且具有优良的移植性，它的基本数据元素是不需要定义的数组。它可以高效率地解决工业计算问题，特别是关于矩阵和矢量的计算。MATLAB与C语言和FORTRAN语言相比更容易被掌握。通过M语言，可以用类似数学公式的方式来编写算法，大大降低了程序所需的难度并节省了时间，从而可把主要的精力集中在算法的构思而不是编程上。另外，MATLAB提供了一种特殊的工具：工具箱（TOOLBOXES）.这些工具箱主要包括：信号处理（SIGNALPROCESSING）、控制系统（CONTROLSYSTEMS）、神经网络（NEURALNETWORKS）、模糊逻辑(FUZZYLOGIC)、小波(WAVELETS)和模