专题-《含参数的一元二次不等式的解法》

专题含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x项的系数a的符号分类，即0,0,0aaa;例1解不等式：0122xaax分析：本题二次项系数含有参数，044222aaa，故只需对二次项系数进行分类讨论。解：∵044222aaa解得方程0122xaax两根,24221aaaxaaax24222∴当0a时,解集为aaaxaaaxx242242|22或当0a时，不等式为012x,解集为21|xx当0a时,解集为aaaxaaax242242|22例2解不等式00652aaaxax分析因为0a，0，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解032)65(2xxaxxa当0a时，解集为32|xxx或；当0a时，解集为32|xx二、按判别式的符号分类，即0,0,0；例3解不等式042axx分析本题中由于2x的系数大于0,故只需考虑与根的情况。解：∵162a∴当4,4a即0时，解集为R；当4a即Δ＝0时，解集为2axRxx且；当4a或4a即0,此时两根分别为21621aax，21622aax，显然21xx,∴不等式的解集为21621622aaxaaxx〈或例4解不等式Rmxxm014122解因,012m2223414)4(mm所以当3m，即0时，解集为21|xx；当33m，即0时，解集为1321322222mmxmmxx〈或；当33mm或，即0时，解集为R。例5解关于的x不等式2(1)410()mxxmR分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+10及m+10来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m－1时，⊿=4（3－m）0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。⑵当－1m3时，⊿=4（3－m）0,图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。⑶当m=3时，⊿=4（3－m）=0，图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410xx的根。⑷当m3时，⊿=4（3－m）0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为。解：11,|;4mxx当时原不等式的解集为132132|,31132132|1);34014)1(12mmxmmxmmmxmmxxmmxxmm原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当当m=3时，原不等式的解集为21|xx；当m3时,原不等式的解集为。小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。例6解关于x的不等式)0(,04)1(22axaax思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。三、按方程02cbxax的根21,xx的大小来分类，即212121,,xxxxxx；例7解不等式)0(01)1(2axaax变式：???0a分析：此不等式可以分解为：0)1(axax，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。解：原不等式可化为：0)1(axax，令aa1，可得：1a∴当1a时，aa1，故原不等式的解集为axax1|；当1a时，aa1,可得其解集为；当01a时,aa1,解集为axax1|。例8解不等式06522aaxx，0a分析此不等式0245222aaa，又不等式可分解为0)3(2axax，故只需比较两根a2与a3的大小.解原不等式可化为：0)3(2axax，对应方程0)3(2axax的两根为axax3,221，当0a时，即23aa，解集为axaxx23|或；当0a时，即23aa，解集为|23xxaxa或四、针对性练习1、解关于x的不等式：.0)2(2axax2、解关于x的不等式：.01)1(2xaax3、解关于x的不等式：.012axax1、解：0)2(2axax)(3243240422aaaa或，此时两根为242)2(21aaax，242)2(22aaax.（1）当324a时，0，)(解集为(248)2(,2aaa)(,248)2(2aaa)；（2）当324a时，0，)(解集为(13,)(,13)；（3）当324324a时，0，)(解集为R；（4）当324a时，0，)(解集为(13,)(,13)；（5）当324a时，0，)(解集为(248)2(,2aaa)(,248)2(2aaa).2、解：若0a，原不等式.101xx若0a，原不等式axxax10)1)(1(或.1x若0a，原不等式.0)1)(1(xax)(其解的情况应由a1与1的大小关系决定，故（1）当1a时，式)(的解集为；（2）当1a时，式)(11xa；（3）当10a时，式)(ax11.综上所述，当0a时，解集为{11xaxx或}；当0a时，解集为{1xx}；当10a时，解集为{axx11}；当1a时，解集为；当1a时，解集为{11xax}.3、解：.012axax)(（1）0a时，.01)(Rx（2）0a时，则0042aaa或4a，此时两根为aaaax2421，aaaax2422.①当0a时，0，)(xaaaa242aaaa242；②当04a时，0，Rx)(；③当4a时，0，21)(xRx且；④当4a时，0，)(或aaaax242aaaax242.综上，可知当0a时，解集为(aaaa242,aaaa242)；当04a时，解集为R；当4a时，解集为(21,)(,21);当4a时，解集为(aaaa24,2)(,242aaaa).