第23讲数学线性代数四2010新版

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环球网校:视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料,考试通过无忧!考试问吧,有问必答!音频、讲义网校免费提供,如有贩卖勿上当,免费咨询:400-678-3456转6011页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多需要课件请联系QQ149420357或547343758三、n维向量(一)n维向量n个有序数al,a2,…,an所组成的数组α=(α1,α2…αn)称为n维向量。为了沟通向量与矩阵的联系,,维向量亦记作并把α称为行向量,a称为列向量。行向量即行矩阵,列向量即列矩阵,规定向量与矩阵一样进行运算,αT=a,aT=α;行向量与列向量不能相加。m个n维列向量所组成的向量组可对应一个n×m矩阵反之,一个m×n矩阵A有m个n维行向量,这些行向量所组成的向量组称为矩阵A。的行向量组;同时,A又有n个m维列向量,这些列向量所组成的向量组称为A的列向量组。(二)向量组的线性相关与线性无关定义设有向量组A:α1,α2,…,αm与向量β,如果有一组数kl,k2,…,km使则称向量β是向量组α1,α2,…,αm的线性组合,或称β可由α1,α2,…,αm,线性表出定义设有向量组A:α1,α2,…,αm,如果有一组不全为0的数kl,k2,…,km使环球网校:视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料,考试通过无忧!考试问吧,有问必答!音频、讲义网校免费提供,如有贩卖勿上当,免费咨询:400-678-3456转6012页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多则说向量组A是线性相关的,否则说向量组A是线性无关的。这时,向量组A线性相关,也就是线性方程组。有非零解,而向量组A线性无关也就是上列线性方程组没有非零解。这时,向量组A是否线性相关,也就是线性方程组是否有非零解。定理设向量组α1,α2,…,αm线性无关,而向量组α1,α2,…,αm,β线性相关,则β可由α1,α2,…,αm线性表示,且表示式是唯一的。(三)向量组的秩定义设有向量组A(A可以含有限个向量,也可以含无限多个向量),如果在A中能选出r个向量α1,α2,…,αr,满足(i)α1,α2,…,αr线性无关;(ii)A中任意r十1个向量都线性相关。则向量组α1,α2,…,αr称为向量组A的最大线性无关向量组(简称最大无关组),数r称为向量组A的秩。只含零向量的向量组没有最大无关组,规定它的秩为0。按此定义可知:向量组A线性相关的充分必要条件是A的秩小于A所含向量的个数;线性无关的充分必环球网校:视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料,考试通过无忧!考试问吧,有问必答!音频、讲义网校免费提供,如有贩卖勿上当,免费咨询:400-678-3456转6013页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多要条件是A的秩等于A所含向量的个数。定义设有两个向量组A与B,如果A中每个向量都能由向量组B线性表示,则称向量组A能由向量组B线性表示。如果向量组A与B能相互线性表示,则称向量组A与B等价。显然,一个向量组与它自己的最大无关组等价。定理若向量组A能由向量组B线性表示,则向量组A的秩不大于向量组B的秩。若向量组A与B等价,则它们的秩相等。注意向量组等价与矩阵等价是两个不同的概念,不要混淆。定理若矩阵A经行变换变为矩阵B,则A的行向量组与召的行向量组等价;若矩阵A经列变换变为B,则A与B的列向量组等价;矩阵A的行向量组的秩以及列向量组的秩都等于矩阵A的秩。由上述两定理可推知(i)设n个n维向量构成方阵A,则此n个向量线性相关的充分必要条件是|A|=0。(ii)设Dr是矩阵A的最高阶非零子式,则Dr所对应的r个行向量即是A的行向量组的最大无关组,Dr所对应的r个列向量即是A的列向量组的最大无关组。(iii)设C=AB,则R(C)≤R(A),R(C)≤(B)。当B可逆时,R(C)=R(A),当A可逆时,R(C)=R(B)。(五)例题[例1-8-9]设A为n阶方阵,且|A|=0,则必有(A)A中某一行元素全为0(B)A的第n行是其余,n-1行的线性组合(C)A中有两列对应元素成比例(D)A中某一列是其余n-1列的线性组合【解】|A|=0是A的、行(列)线性相关的充分必要条件,而前三项都是充分条件而是非必要条件,只有(D)是充分必要条件,故应选(D)。【解】(B)和(C)是必要条件但不是充分条件;(D)是充分条件但不是必要条件。(A)是线性无关定义的正确叙述,故应选(A)。环球网校:视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料,考试通过无忧!考试问吧,有问必答!音频、讲义网校免费提供,如有贩卖勿上当,免费咨询:400-678-3456转6014页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多故R(A)=3,从而列向量组的秩为3。由阶梯形矩阵知1,2,5列中有3阶非零子式,故al,a2,a5是列向量组的一个最大无关组。

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