选修2-1双曲线及其标准方程课时作业

课时作业11双曲线及其标准方程时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．双曲线x216－y29＝1的焦点坐标为()A．(－7，0)，(7，0)B．(0，－7)，(0，7)C．(－5,0)，(5,0)D．(0，－5)，(0,5)【答案】C【解析】∵a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2＋b2＝25，∴c＝5，又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(5,0)和(－5,0)．故选C.2．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()A.x29－y216＝1B.y29－x216＝1C.x29－y216＝1(x≤－3)D.x29－y216＝1(x≥3)【答案】D【解析】由题意得点M到A点的距离大于到B点的距离，且|MA|－|MB|10，所以动点M的轨迹是双曲线的右支．3．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为()A.12B.32C.72D．5【答案】C【解析】点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P与双曲线右支顶点M重合时，|PA|最小，最小值为a＋c＝32＋2＝72，故选C.4．已知点F1(－2，0)、F2(2，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2.当点P的纵坐标是12时，点P到坐标原点的距离是()A.62B.32C.3D．2【答案】A【解析】由题意知，点P的轨迹是双曲线的左支，c＝2，a＝1，b＝1，∴双曲线的方程为x2－y2＝1，把y＝12代入双曲线方程，得x2＝1＋14＝54.∴|OP|2＝x2＋y2＝54＋14＝64，∴|OP|＝62.5．已知双曲线x29－y216＝1上一点P到焦点F1的距离为8，则P到焦点F2的距离为()A．2B．2或14C．14D．16【答案】B【解析】如图，设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，由已知得a＝3，b＝4，c＝5，∵双曲线右顶点到左焦点F1的距离为a＋c＝8，∴点P在双曲线右顶点时，|PF2|＝c－a＝5－3＝2，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝|PF1|＋6＝8＋6＝14.6．设F1、F2为双曲线x25－y24＝1的两个焦点，P(3,1)是双曲线内的一点，点A是双曲线上一动点，则|AP|＋|AF2|的最小值为()A.37＋4B.37－4C.37－25D.37＋25【答案】C【解析】如图，连接F1P交双曲线右支于点A0，∵|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－25，∴要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，当A落在A0时，|AP|＋|AF1|＝|PF1|最小，最小值为37，∴|AP|＋|AF2|的最小值为37－25.二、填空题(每小题10分，共30分)7．已知双曲线C：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于________．【答案】48【解析】由题意知|F1F2|＝|PF2|＝10且|PF1|－|PF2|＝6.∴|PF1|＝16.由勾股定理得PF1上的高h＝102－82＝6.∴△PF1F2的面积S＝12h·|PF1|＝12×6×16＝48.8．已知双曲线的一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程是________.【答案】x2－y24＝1【解析】因为线段PF1的中点坐标为(0,2)，所以P点坐标为(5，4)，又因为焦点在x轴上，且c＝5，所以设双曲线的标准方程为x2a2－y25－a2＝1，将(5，4)代入得5a2－165－a2＝1，解得a2＝25或a2＝1，由ca知a＝1，此时b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的标准方程为x2－y24＝1.9．过双曲线x23－y24＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________．【答案】833【解析】∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝7，弦所在直线方程为x＝7，由x＝7x23－y24＝1得y2＝163，∴|y|＝433，弦长为833.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)双曲线x29－y216＝1的两个焦点为F1、F2，点P是双曲线上的点．若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离是多少？【解析】解法一：由题意得F1(－5,0)、F2(5,0)，设P的坐标是(x0，y0)，又PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴x0＋52＋y20＋x0－52＋y20＝100，x209－y2016＝1.解得|y0|＝165，∴P到x轴的距离为165.解法二：以O为圆心，以|F1F2|2＝5为半径作圆x2＋y2＝25，与x29－y216＝1联立得x2＋y2＝25，x29－y216＝1，解得y2＝16225，即|y|＝165.∴P到x轴的距离为165.11．(13分)已知x21－k－y2|k|－3＝－1，求当k为何值时：①方程表示双曲线；②方程表示焦点在x轴上的双曲线；③方程表示焦点在y轴上的双曲线．【分析】求参数的值或范围时，可先根据焦点的位置把方程化为相应的标准方程的形式，再根据其余条件确定方程中的a2，b2.【解析】①若方程表示双曲线，则需满足：1－k0|k|－30或1－k0，|k|－30，解得k－3或1k3.②若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则1k3.③若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k－3.【总结】明确方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的条件，即AB0，且C≠0.化成x2CA＋y2CB＝1的形式，若焦点在x轴上，则CA0，CB0；若焦点在y轴上，则CB0，CA0.12．(14分)已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求椭圆的另一焦点F的轨迹方程．【解析】设F(x，y)为轨迹上的任意一点，因为A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋52＝2.所以|FA|－|FB|＝2.由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点的双曲线的下半支上，所以点F的轨迹方程是y2－x248＝1(y≤－1)．