20202021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程23232抛物线的简单几何性质教师用书教案新人教A版

-1-2.3.2抛物线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)1.借助直线与抛物线的位置关系，培养学生的直观想象和数学运算的素养.2.借助抛物线的几何性质解题，提升逻辑推理的素养.1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点p2，0－p2，00，p20，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R性质对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝12.焦点弦直线过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝x1＋x2＋p.3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组y＝kx＋b，y2＝2px解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？-2-[提示]可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝4xC[由准线方程为x＝－2，可知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p＝4，所以抛物线的方程为y2＝2px＝8x.]2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝()A．10B．8C．6D．4B[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]3．直线y＝2x－1与抛物线x2＝12y的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定C[由y＝2x－1，x2＝12y，得2x2－2x＋1＝0，即Δ＝4－80，∴y＝2x－1与x2＝12y无交点，故选C．]抛物线的几何性质【例1】已知顶点在原点，以x轴为对称轴，且过焦点垂直于x轴的弦AB的长为8，求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．[解]当焦点在x轴的正半轴上时，设方程为y2＝2px(p0)．当x＝p2时，y＝±p，由|AB|＝2p＝8，得p＝4.故抛物线方程为y2＝8x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.当焦点在x轴的负半轴上时，设方程y2＝－2px(p0)．由对称性知抛物线方程为y2＝－8x，焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.-3-抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，为p2.[跟进训练]1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()A．y2＝36xB．y2＝－33xC．y2＝±36xD．y2＝±33xC[设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A±32，12(取点A在x轴上方)，则有14＝±32a，解得a＝±36，所以抛物线方程为y2＝±36x.故选C．]抛物线的焦点弦问题【例2】已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．[思路点拨](1)设出l的方程，与抛物线联立，消去y得关于x的一元二次方程，利用|AB|＝xA＋xB＋p求解．(2)由代数法或几何法求解．[解](1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝3，又F32，0.所以直线l的方程为y＝3x－32.联立y2＝6x，y＝3x－32，消去y得x2－5x＋94＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，-4-而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝5＋3＝8.(2)法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－32，所以M到准线的距离等于3＋32＝92.法二：如图，作AC⊥l，BD⊥l，ME⊥l，易知|ME|＝12(|AC|＋|BD|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|＝12×9＝92.1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为直线AB的倾斜角)；(3)S△ABO＝p22sinθ(θ为直线AB的倾斜角)；(4)1|AF|＋1|BF|＝2p；(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.[跟进训练]2．过抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程．[解]由于抛物线的焦点Fp2，0，故可设直线AB的方程为x＝my＋p2.由x＝my＋p2，y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，∴－p2＝－4.-5-由p0，可得p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.直线与抛物线的位置关系[探究问题]1．过点(1,1)与抛物线y2＝x有且只有一个公共点的直线有几条？提示：两条，如图．2．借助直线与抛物线的方程组成的方程组解的个数能否说明直线与抛物线的位置关系？提示：不一定．当有两解或无解时，可以说明两者的关系，但只有一解时，需分清相交还是相切．【例3】已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：(1)一个公共点？(2)两个公共点？(3)没有公共点？[思路点拨]联立方程组――→消元关于x的方程――――――――――――→讨论x最高项的系数再分Δ0，Δ＝0，Δ0三类求解[解]将直线l和抛物线C的方程联立得y＝kx＋1，y2＝4x，消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，方程(*)只有一个解，为x＝14，此时y＝1.∴直线l与抛物线C只有一个公共点14，1，此时直线l平行于x轴．当k≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2，①当Δ0，即k1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；③当Δ0，即k1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离．综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与抛物线C有一个公共点；(2)当k1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点；-6-(3)当k1时，直线l与抛物线C没有公共点．直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．(2)若k2≠0，当Δ0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ0时，直线与抛物线相离，无公共点．[跟进训练]3．求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．[解]如图所示，若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0，由x＝0，y2＝2x，得x＝0，y＝0，即直线x＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y＝kx＋1.由方程组y＝kx＋1，y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0，当k＝0时，得x＝12，y＝1.故直线y＝1与抛物线相交，只有一个公共点．当k≠0时，由直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，∴k＝12，此时直线y＝12x＋1与抛物线相切，只有一个公共点．∴y＝1或y＝12x＋1为所求的直线方程．故所求的直线方程为x＝0或y＝1或y＝12x＋1.-7-1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0)．相交：①有两个交点A≠0，Δ0；②有一个交点：A＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即A≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即A≠0，Δ0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．1．判断正误(1)在抛物线y2＝2px(p0)中，p值越大，抛物线的开口越开阔，p值越小，开口越扁狭．()(2)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形．()(3)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上．()(4)直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切．()(5)直线与抛物线相交时，直线与抛物线不一定有两个公共点．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×(5)√2．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝22，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A．12B．14C．16D．18-8-A[线段AB所在的直线的方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为12，0，则焦点到直线AB的距离为1－12＝12.]3.如图，过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝3xB．y2＝9xC．y2＝32xD．y2＝92xA[过A、B作l的垂线，分别交l于A1、B1点．因为|BB1|＝|BF|，|BC|＝2|BF|，所以∠B1BC＝60°，所以∠A1AF＝60°，又因为|AA1|＝|AF|，所以|A1F|＝3，所以|O1F|＝32＝p，所以抛物线的方程为y2＝3x.]4．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求k的值．[解](1)由题意设抛物线方程为y2＝2px(p0)，其准线方程为x＝－p2，因为P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，所以4＋p2＝6，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)由y2＝8x，y＝kx－2