导数的应用复习指导

导数的应用复习指导重点难点分析：1．函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。2．函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f'(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右f'(x)的符号产生变化。3．函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。4．在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当f'(x)=0在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。典型例题1单调性问题例1．已知f(x)=x2+1,g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-λf(x),试问：是否存在实数λ，使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数。解：假设存在实数λ满足题设。F(x)=g(x)-λf(x)=(x4+2x2+2)-λ(x2+1)=x4-(λ-2)x2+(2-λ),F'(x)=4x3-2(λ-2)x,令4x3-2(λ-2)x=0,若λ≤2，则x=0。当x∈(-∞,0)时，F'(x)0；当x∈(0,+∞)时，F'(x)0。∴F(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，显然不符合题设。若λ2，则x=0或，当时，F'(x)0；当时，F'(x)0；当时，F'(x)0；当时，F'(x)0。∴F(x)的单调增区间是，，单调减区间是，。要使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数，则，即λ=4。故存在实数λ=4，使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数。例2．设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。解析：f'(x)=3ax2+1，若a≥0,f'(x)0，对x∈R恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾。若a0，∵f'(x)=,此时f(x)恰有三个单调区间。∴a0且单调增区间为，单调增区间为。例3．若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)满足条件f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0x1x2),且在[x2,+∞]上f(x)单调递增，求实数b的取值范围。解：∵f(0)=0,∴d=0。又∵f(x1)=f(x2)=0,∴f(x)=ax(x-x1)(x-x2)=ax3-a(x1+x2)x2+ax1x2x,∴b=-a(x1+x2),f'(x)=3ax2-2a(x1+x2)x+ax1x2。∵f(x)在[x2,+∞]上单调递增，∴f'(x2)≥0，即,∴ax2(x2-x1)≥0,∵a≠0,x2x10,x2-x10,∴a0,又∵x1+x20,∴b=-a(x1+x2)0,故实数b的取值范围是(-∞,0)。2最（极）值问题例4．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，求a,b的值。解：f'(x)=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.....(1)又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.....(2)联立(1),(2)，消去b得，a2-a-12=0。由此可得当a=-3，b=3时，f'(x)=3(x-1)2≥0，这时f(x)在x=1处无极值，不合题意。当a=4,b=-11时，f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1)，时，f'(x)0,x1时，f'(x)0。这时x=1是极小值点，故a=4,b=-11。例5．求函数y=2ex+e-x的极值。解析：y'=2ex-e-x，令y'=0,即2e2x=1,列表：xy'-0+y↘极小值↗∴y极小。例6．求函数f(x)=3x-x3在闭区间的最大值和最小值。解析：f'(x)=3-3x2,令f'(x)=0，则x1=-1，x2=1。则f(-1)=-2,f(1)=2，又,∴[f(x)]max=2,[f(x)]min=-18。例7．如右图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。解析：设点B的坐标为(x,0)且0x2,∵f(x)=4x-x2图象的对称轴为x=2,∴点C的坐标为(4-x,0),∴|BC|=4-2x,|BA|=f(x)=4x-x2。∴矩形面积为y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8)令y'=0，解得，∵0x2,∴取。∵极值点只有一个，当时，矩形面积的最大值。3切线问题例8．若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线，试求a的值。解：设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0)，由y=ax3得，y'=3ax2，所以，由(1),(2)得。由(3)得，将它代入上式可得3x0+1=x0,∴,∴,∴a=4。例9．已知二次函数f(x)的图象过点(-1,0)，且不等式对一切实数x都成立，求函数f(x)解析式。解：设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。∵函数f(x)的图象过点(-1,0),∴a-b+c=0........(1),∵,∴,∴f(1)=1。∴a+b+c=1......(2)由(1),(2)可得，，从而。令y1=x,y2=f(x),,作图，f(x)的图象夹在y1=x,之间，又y1=x与只有唯一公共点（1，1），故直线y1=x与y2=f(x)，相切于同一点（1，1）。∵,而f'(1)=1,即，∴，故。4.应用问题例10．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。解：设容器底面短边为xm，则另一边长为(x+0.5)m,高为。由3.2-2x0且x0，得0x1.6。设容器的容积为ym3，则有y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x,(0x1.6)∴y'=-6x2+4.4x+1.6=0,即15x2-11x-4=0，解得（不合题意，舍去）。当x∈(0,1)时，y'0；当x∈(1,1.6)时，y'0。∴函数y=-2x3+2.2x2+1.6x在(0,1)上单调递增，在[1，1.6]上单调递减。因此，当x=1时，ymax=-2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2-2×1=1.2。故容器的高为1.2m时容器最大，最大容积为1.8m3。例11．一艘渔艇停泊在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇km处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km，船速每小时4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？解析：如图示设A点为渔艇处，BC为海岸线，C为渔站，且AB=9km,设D为海岸线上一点，CD=x，只需将时间T表示为x的函数，∵，由A到C的时间T，则（0≤x≤15）（0≤x≤15）令T'=0，解得x=3，在x=3附近，T'由负到正，因此在x=3处取得最小值，又，比较可知T(3)最小。训练题：1．函数y=4x2(x-2),x∈[-2，2]的最小值是_____。2．一个外直径为10cm的球，球壳厚度为，则球壳体积的近似值为____。3．函数f(x)=x4-5x2+4的极大值是______，极小值是_____。4．做一个容积为256升的方底无盖水箱，问高为多少时最省材料？参考答案：1.–642.19.63cm33.4；4.设高为h，底边长为a，则所用材料为S=a2+4ah,而a2h=256，a∈(0,+∞),∴,a∈(0,+∞),令S'(a)=,∴a=8。显然当0a8时，S'(a)0，当a8时，S'(a)0，因此当a=8时，S最小，此时h=4。