广东省河源市连平县忠信中学2006届高三级十月考数学试题

广东省河源市连平县忠信中学2006届高三级十月考数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知直线l1:x+ay+1=0与直线l2:x－2y+2=0垂直，则a的值为A.2B.－2C.－21D.212.函数y=sin（2x+θ）cos（2x+θ）在x=2时有最大值，则θ的一个值是A.4B.2C.32D.433.已知直二面角α—l—β，A∈α，B∈β，AB⊥l，AB=6，则线段AB的中点到l的距离为A.1B.2C.3D.不能确定4.已知等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值为A.25B.50C.100D.不存在5.设函数f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，若f（2）=1，f（1）=a，则A.a=2B.a=－2C.a=1D.a=－16.已知一个简单多面体的各个面都是三角形，则顶点数V与面数F满足的关系是A.2V+F=4B.2V－F=4C.2V+F=2D.2V－F=27.若函数y=sin（x+3）+2的图象按向量a平移后得到函数y=sinx的图象，则a等于A.（－3，－2）B.（3，2）C.（－3，2）D.（3，－2）8.6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是A.121B.21C.61D.319.如果直线ax+by=4与圆C：x2+y2=4有两个不同的交点，那么点（a，b）和圆C的位置关系是A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定10.函数f（x）=|ax2+bx+c|（a≠0）的定义域分成四个单调区间的充要条件是A.a0且b2－4ac0B.－ab20C.b2－4ac0D.－ab2011.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，则直线C1E与平面ACC1A1所成角的正切值为A.62B.42C.1717D.1712.已知椭圆22ax+y2=1（a1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点,且∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|的值为A.1B.31C.34D.32第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.若（3a+b）n的展开式的系数和等于（x+y）8的展开式的系数和，则n=______.14.过曲线y=x3－x上点（1，0）的切线方程的一般式是______.15.已知函数f（x）=2sinωx（ω0）在［0，3］上单调递增，则ω的取值范围是______.16.对于任意定义在R上的函数f（x），若存在x0∈R满足f（x0）=x0，则称x0是函数f（x）的一个不动点.若函数f（x）=x2+ax+1没有不动点，则实数a的取值范围是______.三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为0.6，乙投篮的命中率为0.7，两人是否投中相互之间没有影响，求：（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率.18.（本小题满分12分）已知函数f（x）=log2（x+m），且f（0）、f（2）、f（6）成等差数列.（1）求实数m的值；（2）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论.19.（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且272cos2sin42ACB，（1）求角A的度数；（2）若a=3，b+c=3，求b和c的值.20.（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，过BC1的平面BC1D∥AB1，平面BC1D交AC于D.（1）求证BD⊥平面ACC1A1；（2）若二面角C1—BD—C等于60°，求平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的大小.（结果用反三角函数表示）21.（本小题满分12分）如图，点F（a，0）（a0），点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且PMPNPFPM,00.（1）求点N的轨迹C的方程；（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点K（－a，0），KA与KB的夹角为θ，求证：0θ2.22.（本小题满分14分）已知a≥21，f（x）=－a2x2+ax+c.（1）证明对任意x∈［0，1］，f（x）≤1的充要条件是c≤43;（2）已知关于x的二次方程f（x）=0有两个实根α、β，证明：|α|≤1且|β|≤1的充要条件是c≤a2－a.忠信中学2006届高三级十月考数学试题答案一、1.D2.A3.C4.A5.D6.B7.D8.B9.A10.C11.C12.C二、13.414.2x－y－2=015.（0，23]16.（－1，3）三、17.（1）P1=0.6（1－0.7）+（1－0.6）0.7=0.46.6分（2）P2=［12C0.6（1－0.6）］·［22C（0.7）2（1－0.7）0］=0.2352.12分18.（1）由f（0）、f（2）、f（6）成等差数列，可得2log2（2+m）=log2m+log2（6+m），即（m+2）2=m（m+6）且m0，解得m=2.6分（2）由f（x）=log2（x+2），可得2f（b）=2log2（b+2）=log2（b+2）2，f（a）+f（c）=log2（a+2）+log2（c+2）=log2［（a+2）（c+2）］，8分∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac，9分又a、b、c是两两不相等的正数，故（a+2）（c+2）=ac+2（a+c）+4ac+4ac+4=b2+4b+4=（b+2）2，10分∴log2［（a+2）（c+2）］log2（b+2）2，即f（a）+f（c）2f（b）12分19.（1）由已知得2［1－cos（B+C）］－（2cos2A－1）=27，2分∵cos（B+C）=－cosA，3分∴4cos2A－4cosA+1=0，∴（2cosA－1）2=0，即cosA=21.5分∴A=60°.6分（2）∵a2=b2+c2－2bccosA=b2+c2－bc=（b+c）2－3bc，∵a=3，b+c=3，8分∴3=9－3bc，∴bc=2，10分由,2,3bccb解之得12cb或21cb.12分20.（1）连结B1C交BC1于O，则O是B1C的中点，连结DO，∵AB1∥平面BC1D，AB1平面AB1C，平面AB1C∩平面BC1D=DO，∴AB1∥DO，3分∴D是AC的中点，∵△ABC是正三角形，∴BD⊥AC，∵平面ACC1A1⊥平面ABC，∴BD⊥平面ACC1A1.6分（2）∵CC1⊥平面ABC，且CD⊥BD，∴C1D⊥BD，∴∠C1DC是二面角C1—BD—C的平面角，8分∴∠C1DC=60°，设正三棱柱底边长为2，则DC=1，CC1=3，作DE⊥BC于E，∵平面BCC1B1⊥平面ABC，∴DE⊥平面BCC1B1，作EF⊥BC1于F，连结DF，则DF⊥BC1，∴∠DFE是平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的平面角，10分在Rt△DFE中，DE=23，在Rt△DFE中，EF=BE·sinC1BC=72337323，∴tanDFE=37337223EFDE，∴平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的大小为arctan37.12分21.（1）（方法一）设N（x，y），∵PMPN=0，即P是MN的中点，∴M（－x，0），P（0，2y），2分∵PFPM=0，∴PM⊥PF，4分∴ayxy22=－1，∴y2=4ax即为所求.6分（方法二）设N（x，y），M（x0，0），P（0，y0）则).,(),,(),,(0000yyxPNyaPFyxPM2分由PM·PF=0，得ax0+y02=0，①由PN+PM=0，得（x+x0，y－2y0）=0，4分即,02,000yyxx∴,2,00yyxx代入①得，y2=4ax即为所求.6分（2）设l的方程为y=k（x－a），由),(,42axkyaxy消去x，得y2－ka4y－4a2=0，8分设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=－4a2，9分KA=（x1+a，y1），KB=（x2+a，y2），10分KA·KB=（x1+a）（x2+a）+y1y2=x1x2+a（x1+x2）+a2+y1y2=)44()4(222122221ayayaayy+a2－4a2=41（y12+y22）－2a241（2|y1y2|）－2a2=21×4a2－2a2=0，∴cosθ=||||KBKAKBKA0，∴0θ2.12分22.（1）f（x）=－a2（x－a21）2+c+41，∵a≥21，∴a21∈（0，1]，∴x∈（0，1]时，［f（x）］max=c+41，2分若c≤43，则f（x）≤［f（x）］max=c+41≤1，4分若f（x）≤1，则［f（x）］max=c+41≤1，即c≤43，∴对任意x∈［0，1］，f（x）≤1的充要条件是c≤43.6分（2）（方法一）方程－a2x2+ax+c=0的两根为acxacx2411,241121,8分不妨设acac2411,2411，其中1+4c≥0，若c≤a2－a，则1+4c≤4a2－4a+1=（2a－1）2，∵2a－1≥0，∴c41≤2a－1，即0ac2411≤1，即|α|≤1，9分又1－c41≥1－（2a－1）=2－2a－2a，∴ac2411－1，又∵ac2411≤ac2411≤1，∴|β|≤1.10分若|α|≤1，且|β|≤1，∴ac2411≤1，且ac2411≥－1，∵2a≥1，∴c41≤2a－1，且c41≤2a+1，12分∴c41≤2a－1，即c≤a2－a，13分∴|α|≤1且|β|≤1的充要条件是c≤a2－a.14分（方法二）∵a≥21，∴a21∈（0，1]［－1，1］8分又抛物线开口向下，∴1||1||f（x）=0的两根在［－1，1］内，10分,0,0,0)1(,0)1(,0)1(,0)1(,1211,022caacaaffffaΔ12分.,,222aacaacaac14分