福州一中2015年5月高三理科数学质检试卷及答案

福州一中2014-2015学年高三校质检试卷理科数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的标准差锥体体积公式s=222121()()()nxxxxxxn…V=31Sh其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V=Sh24SR，343VR其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集RU，}0)3(|{xxxM，}1|{xxN，则图中阴影部分表示的集合为A．}03|{xxB．}1|{xxC．}3|{xxD．}01|{xx（第1题图）2.若11aiii（i为虚数单位），则a的值为A.iB.iC.2iD.2i3.设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12yx，则该双曲线的离心率等于A．5B．5C．25D．454.已知公差不为0的等差数列{}na满足134,,aaa成等比数列，nS为数列{}na的前n项和，则3253SSSS的值为A．2B．3C．2D．35.下列判断不正确的是A．若)25.0,4(~B，则1EB．命题“2,0xRx”的否定是“200,0xRx”C．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样D．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等6.函数sin0,2fxx的最小正周期是，若其图象向右平移6个单位后得到的函数为奇函数，则函数fx的图象A．关于点,012对称B．关于直线12x对称C．关于点)0,6(对称D．关于直线6x对称7．设点（,ab）是区域4000xyxy内的任意一点，则函数2()41fxaxbx在区间[1,)上是增函数的概率为A．14B．23C．13D．128.如图，在棱长均为2的四棱锥PABCD中，点E为PC的中点，则下列命题正确的是（）A．BE∥平面PAD，且直线BE到平面PAD的距离为3B．BE∥平面PAD，且直线BE到平面PAD的距离为263C.BE与平面PAD不平行，且直线BE与平面PAD所成的角大于30第8题图D.BE与平面PAD不平行，且直线BE与平面PAD所成的角小于309．称(,)||dabab为两个向量,ab间的“距离”.若向量,ab满足：①||1b；②ab；③对任意的tR，恒有(,)(,)datbdab．则以下结论一定成立的是A．abB．()babC．()aabD．()()abab10．已知抛物线M：24yx=，圆N：222)1(ryx（其中r为常数，0r）.过点(1,0)的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足BDAC的直线l有且只有三条的必要条件是A．(0,1]rB．(1,2]rC．3(,4)2rD．3[,)2r第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．若4(4),0(),(2012)cos,0xfxxfxftdtx则．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为．13．在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且90POQ，再过两分钟后，该物体位于R点，且30QOR，则tanOPQ的值为．14．在2015(2)x的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，则当2x时，S等于．15．已知a为[0,1]上的任意实数，函数1()fxxa，22()1fxx，323()fxxx．则以下结论：①对于任意0xR，总存在)(xfi，)(xfj({,}ij{1,2,3})，使得00()()0ijfxfx；②对于任意0xR，总存在)(xfi，)(xfj({,}ij{1,2,3})，使得00()()0ijfxfx；③对于任意的函数)(xfi，)(xfj({,}ij{1,2,3})，总存在0xR，使得00()()0ijfxfx；④对于任意的函数)(xfi，)(xfj({,}ij{1,2,3})，总存在0xR，使得00()()0ijfxfx．其中正确结论的序号是．（填上你认为正确的所有答案序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次k＝1，S＝0开始k≤5?输出S结束否S＝S＋2k是k＝k＋1(第12题图)甲5855769288乙6582878595（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．17．（本小题满分13分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若060DBFDAB，且FCFA.（Ⅰ）求证：FC∥∥平面EAD；（Ⅱ）求二面角AFCB的余弦值.（第17题图）18．（本小题满分13分）设mR，函数2()cos(sincos)cos()2fxxmxxx，且()(0)3ff．（Ⅰ）求()fx的单调递减区间；（Ⅱ）设锐角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2222222acbcacabc，求()fA的取值范围．19．（本小题满分13分）已知(2,0)A，(2,0)B为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且APB面积的最大值为23．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．EABCDFO20．（本小题满分14分）已知函数23()1xfxx，()ln()gxxxp.（Ⅰ）求函数()fx的图象在点11(,())33f处的切线方程；（Ⅱ）判断函数()gx的零点个数，并说明理由；（Ⅲ）已知数列{}na满足：03na，*nN，且1220153()2015aaa．若不等式122015()()()()fafafagx在(,)xp时恒成立，求实数p的最小值.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵11aMb的一个特征值1所对应的特征向量为10.（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；（Ⅱ）求曲线C：22221xxyy在矩阵M对应变换作用下得到的新的曲线方程.（2）（本小题满分7分)选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为12xtyt（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为22sin()4.（Ⅰ）将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l和曲线C相交于A、B两点，求AB的长.（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知正数a，b，c满足2226abc．（Ⅰ）求2abc的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式1||xxmM恒成立，求实数m的取值范围．福州一中2014-2015学年高三校质检理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：11.2212.313213.23314.4029215.①④题号12345678910答案DCCADBCDBD选择题10简解：依题意可设直线l：1xmy，（1）代入24yx，得2440ymy，△=216(1)m，把（1）代入222)1(ryx得2221rym，设11(,)Axy，22(,)Bxy，33(,)Cxy，44(,)Dxy，||||ACBD，即1324||||yyyy，若1324()yyyy，则1234yyyy，0m.若1324yyyy，则1234yyyy，即222411rmm，即22(1)rm，故当2r时，l有三条．从而本题应该选D.三、解答题：16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好．………………5分（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0,1,2．1144115516(0)25CCPXCC，14115528(1)25CPXCC，115511(2)25PXCC，…………………10分随机变量X的分布列是：X012P1625825125168120122525255EX．…………………………………………………13分17.（I）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以BCAD∥，BFDE∥.因为FBCAD平面，FBCD平面E，所以FBCAD平面∥，FBCDE平面∥…………………………………………………2分又ADDED，EADAD平面，EADDE平面，所以EAD平面∥平面FBC又FBCFC平面，87569826甲乙5572585所以EADFC平面∥…………………………………………………………………………4分（II）连接FO、FD,因为四边形BDEF为菱形，且060DBF，所以DBF为等边三角形，因为O为BD中点.所以BDFO，又因为O为AC中点,且FCFA，所以FOAC又ACBDO，所以ABCDFO平面………………………………………………6分由OFOBOA,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyzO设2AB，因为四边形ABCD为菱形，060DAB，则2BD，1OB，3OFOA，所以)3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(FCBAO…8分所以)0,1,3(),3,0,3(CBCF设平面BFC的一个法向量为),,(zyxn，则有00CBnCFn,所以03033yxzx，令1x，则)1,3,1(n…………………………………………………………………10分因为AFC平面BD，所以平面AFC的一个法向量为)0,1,0(OB.因为二面角BFCA为锐二面角，设二面角的平面角为，则51553,coscosOBnOBnOBn.所以二面角BFCA的余弦值为515…………………………………………………13分18．解：（I）2()cos(sincos)cos()sin2cos222mfxxmxxxxx…………2分由()(0)3ff得：31142m，∴23m…………………………………4分∴()3sin2cos22sin(2)6fxxxx……………………………………………5分由3222262kxk得：536kxk，kZzEABCDFOxy∴()fx的单调递减区间为：5[,]36kk，kZ………………………………7分（