高三数学同步测试(3)

高中学生学科素质训练高三数学同步测试（3）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）S=4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P（A·B）=P（A）·P（B）球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P.334RV那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径knkknnPPCkP)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合],43[A，]1,1[B，xxf2sin:是从集合A到集合B的映射，则在映射f下，象21的原象有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.若3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，现有10个空汽水瓶，若不再交钱，最多可以喝汽水的瓶数是（）A.3B.4C.5D.63．函数y=sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y=cos2x+1,则a等于（）A.(4,1)B.(－4,1)C.(－2,1)D.(2,1)4.已知等比数列}{na的各项均为正数，公比，，设2193aaPqQ=75aa，则P与Q的大小关系是（）A.PQB.PQC.P=QD.无法确定5．方程xxtansin在2,2上的解的个数是（）A.4B.3C.2D.16.已知平面//平面，直线l，点Pl，平面,间的距离为8，则在内到点P的距离为10，且到直线l的距离为9的点的轨迹是（）A.一个圆B.两条直线C.四个点D.两个点7．设(2,0)F，动点P到y轴的距离为d，则满足点P的轨迹方程是28yx和00yx的一个条件是（）A.2PFdB.2PFdC.3PFdD.3PFd8．在⊿ABC中，AB⊥AC、AD⊥BC，D是垂足，则BCBDAB2（射影定理）.类似有命题：三棱锥A-BCD（图2）中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在⊿BCD内，则BCDBCOABCSSS2.上述命题是（）A.真命题B.假命题C.增加AB⊥AC的条件才是真命题D.增加三棱锥A-BCD是正三棱锥的条件才是真命题9．圆C切y轴于点M且过抛物线452xxy与x轴的两个交点，O为原点，则OM的长是（）A．4B．25C．22D．210．甲船在千岛湖B岛的正南A处，AB=3km.甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发以12km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，则行驶15分钟，两船之间的距离是（）A.7km.B.13km.C.19km.D.3310km.11．若fx是R上的减函数，且fx的图象过点0,3A和3,1B，则不等式112fx的解集是（）A.,3B.,2C.0,3D.1,212.我们用记号ie来表示复数cos+isin，即sincosiei(其中e=2.71828…是自然对数的底数，的单位是弧度)．则：①iei222；②sin2iiee；③01ie．其中正确的式子代号为（）A．①B．①②C．①③D．②③第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.13．若P为抛物线1422xy上任意一点，以P为圆心且与y轴相切的圆必过定点M，则点M的坐标是__________________.14．已知数列na的通项公式为sin3nan，又516a，则23a=__________.15．一个公司有N个员工，下设一些部门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为n的样本(N是n的倍数)．已知某部门被抽取了m个员工，那么这一部门的员工数是．16．一次化学实验中需要用天平称出20g氧化铜粉末,某同学发现自己所用的天平是不准的(其两臂不等长)，因此,他采用了下列操作方法：选10g的法码放入左盘,置氧化铜粉末于右盘使之平衡，取出氧化铜粉末,然后又将10g法码放于右盘,置氧化铜粉末于左盘,平衡后再取出.他这样称两次得到的氧化铜粉末之和应该20g.(选用“大于”，“小于”，“等于”，“不小于”，或“不大于”填空)三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）如图，长为3的线段OP绕点O旋转，设)20(,POX，Q是OP上一点，且1OQ，过点P，Q向坐标轴作垂线，垂足为M，N，R，记RMO.(I)求函数)(ftan()的解析式;(II)求)(f的最大值，并求出相应的.注意：考生在（18甲）、（18乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18甲）计分.18．（本小题满分12分）（甲）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线.（I）求圆锥的母线与底面所成的角；（II）求圆锥的全面积．(乙)已知：如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1，M、N分别为A1B、B1C1的中点.（Ⅰ）求证：MN//平面ACC1A1；（Ⅱ）求证：MN⊥平面A1BC；（Ⅲ）求二面角A—A1B—C的大小.19．（本小题满分12分）某次国际网球邀请赛共有128位选手参加，比赛采用单淘汰制，即每轮淘汰一半的选手，剩下一半的选手进入下一轮.在第1轮被淘汰的每位选手可获得出场费1万元，在第2轮被淘汰的选手可获得2万元，在第k轮被淘汰的选手可获得2k–1万元，而冠军则可获得128万元.（I）求本次网球邀请赛共需出场费多少万元？（II）设网球场有3000个坐位，第一轮比赛门票价格为a元(a为整数)，第二轮比赛门票价格为a+50元，第k轮比赛门票价格为a+50(k–1)元.假设每场比赛均满座，且每张门AA1BB1C1NCM票可观看一轮的所有比赛，则要使本次邀请赛不亏本，第一轮门票价格a应该如何确定？20．（本小题满分12分）如右图是在竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相通，若竖直线段有一条的为第一层，有二条的为第二层，依次类推，现有一颗小弹子从第1层的通道里向下运动。求：（I）该小弹子落入第4层第2个竖直通道的概率（从左向右数）；（II）猜想落入第n+1层的第m个通道里的概率。（III）该小弹子落入第n层第1m个竖直通道的路径数与该小弹子落入第n层第m个竖直通道的路径数之和等于什么？[假设在交点处小弹子向左或向右是等可能的]．第二通道µÀ入口第四层第三层第二层第一层21．（本小题满分14分）已知动点P与双曲线13222yx的两个焦点1F、2F的距离之和为定值，且21cosPFF的最小值为91．（I）求动点P的轨迹方程；（II）若已知)3,0(D，M、N在动点P的轨迹上且DNDM，求实数的取值范围．22．（本小题满分14分）已知函数14)(234axxxxf在区间[0，1]单调递增，在区间)2,1[单调递减，（I）求a的值；（II）若点)())(,(00xfxfxA在函数的图象上，求证点A关于直线1x的对称点B也在函数)(xf的图象上；（III）是否存在实数b，使得函数1)(2bxxg的图象与函数)(xf的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.高中学生学科素质训练高三数学同步测试（3）一、选择题1.C2.C3.A4.A5.D6.C7.B8.A9.D10.B11.D12.C二、填空题13．2,214．1615．nmN16.大于三、解答题17．（I）由图得………6分223cos,sin,4sin1tantan,3cos3tantan()tan()1tantan1tantan311tantan32tan.3tanOMORQNbacOROMf（II）23tantanf.………8分当且仅当3tan,tan即tan3,3时，3tantan最小值为23.所以当3时，)(f最大，值为33.……………12分18．（甲小题）（I）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，由题意得：Rl2,即21cos1lRACO,………4分所以母线和底面所成的角为.600………6分（II）设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与AC的交点，则OO1//AB且.211ABOO………8分在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，则O为抛物的顶点，所以抛物线方程为x2=－2py，点N的坐标为（R，－R），代入方程得R2=－2p（－R），得R=2p，l=2R=4p.∴圆锥的全面积为22221248pppRRl.………12分18（乙小题）（Ⅰ）连AC1，AB1.由直三棱柱的性质，得AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1B1，则四边形ABB1A1为矩形.……………………2分由矩形性质得，AB1过A1B的中点M.在△AB1C1中，由中位线性质，得MN//AC1.又AC1平面ACC1A1，MN平面ACC1A1，∴MN//平面ACC1A1.…………………4分（Ⅱ）BC⊥平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1，∴BC⊥AC1在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1又BC∩A1C=C，∴AC1⊥平面A1BC.………………………7分由MN//AC1，∴MN⊥平面A1BC.……………………8分（Ⅲ）作CE⊥AB于E.∵平面ABC⊥平面ABB1A1，∴CE⊥平面ABB1A1。作EF⊥A1B于F，连FC.由三垂线定理得A1B⊥CF.∠EFC为二面角A—A1B—C的平面角…………………10分令BC=2，在等腰Rt△ABC中，可求出2CE.在Rt△A1BC中，由BC=2，A1C=22，求出A1B=23.由FC·A1B=BC·A1C,求出23sin32232222FCECEFCFC故∠EFC=60°.…………………12分19.（I）设奖金总数为W万元.则有W=641+322+1622+823+424+225+126+27=726+27=926(万元).……………4分(II)设门票收入为y元，则y=3000[a+(a+50)+(a+100)+(a+150)+(a+200)+(a+250)+(a+300)]=3000(7a+1050)……………8分比赛不亏本，则3000[7a+1050]9000026.解得a124.3……………10分故要使邀请赛不亏本，第一轮价格至少要定为125元.……………12分20．（I）∵在交点处小弹子向左或向右是等可能的，∴小弹子落入第4层第1个竖直通道的路径只有1条，落入第4层第2个竖直通道的路径有3条，第3个有3条，第4个有1条，∴所求概率P=13313=83.……………4分（II）利用杨辉三角的特点可猜想，所求的概率P=nnnnmnCCCC101=nmnC21.……………8分（III）11121mnmnmnCCC，即该小弹子落入第n层第1m个竖直通道的路径数与该小弹子落入第n层第m个竖直通道的路径数之和等于该小弹子落入第1n层第m个竖直通道的路径数.……………12分21．(I)由题意52c，……………2分设aPFPF2||||21（5a），由余弦定理,得1||||102||||2||||||cos21221221222121PFPFaPFPFFFPFPFPFF．……………4分又||1PF·22212)2||||(||aPFPFPF，……………6分当且仅当||||21PFPF时，||1PF·||2PF取最大值，此时21cos