高考数学圆锥曲线与不等式专题

圆锥曲线与不等式专题一、选择、填空题：1、已知x、y是正变数，a、b是正常数，且ybxa=1，x+y的最小值为__________.解析：令xa=cos2θ，yb=sin2θ，则x=asec2θ，y=bcsc2θ，∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2abbaba2cottan22.答案：a+b+2ab2、设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，则ad与bc的大小关系是__________.解析：由0≤|a－d|＜|b－c|(a－d)2＜(b－c)2(a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞bc.答案：ad＞bc3、已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(22a，2b)，则f(x)·g(x)＞0的解集是__________.解析：由已知b＞a2∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴f(x)＜0的解集是(－b，－a2)，g(x)＜0的解集是(－2,22ab).由f(x)·g(x)＞0可得：2222,0)(0)(0)(0)(2222axbaxbbxabxaxgxfxgxf或即或∴x∈(a2，2b)∪(－2b，－a2)答案：(a2，2b)∪(－2b，－a2)4、已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是__________.原方程可化为cos2x－2cosx－a－1=0，令t=cosx，得t2－2t－a－1=0，原问题转化为方程t2－2t－a－1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f(t)=t2－2t－a－1，对称轴t=1，画图象分析可得0)1(0)1(ff解得a∈［－2，2］.答案：［－2，2］5、已知函数f(x)=1222xcbxx(b＜0）的值域是［1，3］，则b=c=。解：设y=1222xcbxx，则(y－2)x2－bx+y－c=0①∵x∈R，∴①的判别式Δ≥0，即b2－4(y－2)(y－c)≥0，即4y2－4(2+c)y+8c+b2≤0②由条件知，不等式②的解集是［1，3］∴1，3是方程4y2－4(2+c)y+8c+b2=0的两根48312312bcc∴c=2，b=－2，b=2(舍)6、直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P点坐标是_________.解析：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点.答案：P(5，6)7、自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2－4x－4y+7=0相切，则光线l所在直线方程为_________.解析：光线l所在的直线与圆x2+y2－4x－4y+7=0关于x轴对称的圆相切.答案：3x+4y－3=0或4x+3y+3=08、函数f(θ)=2cos1sin的最大值为_________，最小值为_________.解析：f(θ)=2cos1sin表示两点(cosθ,sinθ)与(2,1)连线的斜率.答案：3409、设不等式2x－1＞m(x2－1)对一切满足|m|≤2的值均成立，则x的范围为_________.原不等式变为(x2－1)m+(1－2x)＜0,构造线段f(m)=(x2－1)m+1－2x,－2≤m≤2,则f(－2)＜0,且f(2)＜0.答案：213217x10、已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是。解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.11、设A1、A2是椭圆4922yx=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为。解析：设交点P(x,y),A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，∴300xyxxyy∵A2、P2、P共线，∴300xyxxyy解得x0=149,149,3,92220200yxyxxyyx即代入得12、△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－2a,0),C(2a,0)，且满足条件sinC－sinB=21sinA,则动点A的轨迹方程为_________.解析：由sinC－sinB=21sinA,得c－b=21a,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222axayax.答案：)4(1316162222axayax13、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为()12575D.17525C.1252752B.1752252A.22222222yxyxyxyx解析：由题意，可设椭圆方程为：2222bxay=1,且a2=50+b2,即方程为222250bxby=1.将直线3x－y－2=0代入，整理成关于x的二次方程.由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.答案：C14、抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有()A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0解析：解方程组bkxyaxy2,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=ak,x1x2=－ab,x3=－kb,代入验证即可.答案：B15、已知A、B、C三点在曲线y=x上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，当△ABC的面积最大时，m等于()A.3B.49C.25D.23解析：由题意知A(1，1)，B(m,m),C(4,2).直线AC所在方程为x－3y+2=0,点B到该直线的距离为d=10|23|mm.|41)23(|21|23|2110|23|1021||212mmmmmdABSABC∵m∈(1,4),∴当23m时，S△ABC有最大值，此时m=49.答案：B16、直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.解析：所求椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.欲使2a最小，只需在直线l上找一点P.使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解.4522yx=117、双曲线2224byx=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________.解析：设F1(－c,0)、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜317,又∵c2=4+b2＜317,∴b2＜35,∴b2=1.答案：118、正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上，则正方形ABCD的面积为_________.解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，再代入求出|CD|的长.答案：18或5019、A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=2,则椭圆离心率的范围是_________.解析：设椭圆方程为2222byax=1(a＞b＞0),以OA为直径的圆：x2－ax+y2=0,两式联立消y得222abax2－ax+b2=0.即e2x2－ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a,由韦达定理x2=2ea－a,0＜x2＜a，即0＜2ea－a＜a22＜e＜1.答案：22＜e＜120、已知抛物线y=x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________.解析：设P(t,t2－1)，Q(s,s2－1)∵BP⊥PQ,∴tststt)1()1(11222=－1,即t2+(s－1)t－s+1=0∵t∈R,∴必须有Δ=(s－1)2+4(s－1)≥0.即s2+2s－3≥0,解得s≤－3或s≥1.二、解答题：21、设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=27，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式：x2+21≤f(x)≤2x2+2x+23对一切实数x都成立，证明你的结论.解：由f(1)=27得a+b+c=27，令x2+21=2x2+2x+23x=－1，由f(x)≤2x2+2x+23推得f(－1)≤23.由f(x)≥x2+21推得f(－1)≥23，∴f(－1)=23，∴a－b+c=23，故2(a+c)=5，a+c=25且b=1，∴f(x)=ax2+x+(25－a).依题意：ax2+x+(25－a)≥x2+21对一切x∈R成立，∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)2≤0，∴f(x)=23x2+x+1易验证：23x2+x+1≤2x2+2x+23对x∈R都成立.∴存在实数a=23，b=1，c=1，使得不等式：x2+21≤f(x)≤2x2+2x+23对一切x∈R都成立.22、已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为728122yx=1(y≠0)23、已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=320,椭圆C2的方程为2222byax=1(a＞b＞0)，C2的离心率为22，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程.解：由e=22,可设椭圆方程为22222bybx=1,又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,又2222222212212,12bybxbybx=1,两式相减，得22221222212byybxx=0,即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0.化简得2121xxyy=－1,故直线AB的方程为y=－x+3,代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0.有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=3204)(221221xxxx,得3209722422b，解得b2=8.故所求椭圆方程为81622yx=1.24、已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.(1)求a的取值范围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.解：