高考普通高等学校招生全国统一考试75

高考普通高等学校招生全国统一考试75数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)24RS如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)其中R表示球的半径如果事件A在一次试验中发生的概率是球的体积公式P，那么n次独立重复试验中恰好发生k334RV球次的概率knkknnPPCkP)1()(其中R表示球的半径一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（１）数111iiz．在复平面内，z所对应的点在（）（Ａ）第一象限（Ｂ）第二象限（Ｃ）第三象限（Ｄ）第四象限【答案】B【解答】∵iiiiiiz111)1(111∴z所对应的点在第二象限．故选B．【点拨】对于复数运算应先观察其特点再计算，会简化运算．（２）极限)(lim0xfxx存在是函数)(xf在点0xx处连续的（）（Ａ）充分而不必要的条件（Ｂ）必要而不充分的条件（Ｃ）充要条件（Ｄ）既不充分也不必要的条件【答案】B【解答】∵极限)(lim0xfxx存在且)()(lim00xfxfxx，则函数)(xf在点0xx处连续的，∴极限)(lim0xfxx存在是函数)(xf在点0xx处连续的必要而不充分的条件，故选B．【点拨】准确理解函数连续性的概念及判断方法很重要．（３）设袋中有80个红球，20个白球．若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（Ａ）10100610480CCC（Ｂ）10100410680CCC（Ｃ）10100620480CCC（Ｄ）10100420680CCC【答案】D【解答】从袋中任取10个球有10100C种，其中恰有6个红球有420680CC种，故选D．【点拨】分析如何完成取球任务，再利用组合计算．（４）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题：①若m，m，则//；②若，，则//；③若m，n，nm//，则//；④若m、n是异面直线，m，//m，n，//n，则//，其中真命题是（Ａ）①和②（Ｂ）①和③（Ｃ）③和④（Ｄ）①和④【答案】D【解答】因为垂直于同一条直线的两平面互相平行，所以①正确；因为垂直于同一平面的两平面不一定平行，所以②错误；因为当与相交时，若m、n平行于两平面的交线，则nm//，所以③错误；因为若m、n是异面直线，m，//m，n，//n，当且仅当//，所以④正确．【点拨】解立几推断题应联系具体图形以及相关定理解决．（５）函数)1ln(2xxy的反函数是（Ａ）2xxeey（Ｂ）2xxeey（Ｃ）2xxeey（Ｄ）2xxeey【答案】C【解答】由)1ln(2xxy，得12xxey，即12xxey，两边平方，化简得122yyxee，故yyeex12，即2yyeex，∴)1ln(2xxy的反函数是2xxeey．【点拨】求反函数设法解出x．（６）若011log22aaa，则a的取值范围是（Ａ）),21(（Ｂ）),1(（Ｃ）)1,21(（Ｄ）)21,0(【答案】C【解答】法一：代特殊值验证法二：①当011log12022aaaa，即1112102aaa时，无解；②当011log1222aaaa，即1110212aaa时，121a，故选C．【点拨】解含参数对数不等式时，须注意分类讨论参数．（７）在Ｒ上定义运算：)1(yxyx．若不等式1)()(axax对任意实数x成立，则（Ａ）11a（Ｂ）20a（Ｃ）2321a（Ｄ）2123a【答案】C【解答】∵)1)(()()(axaxaxax，∴不等式1)()(axax对任意实数x成立，则1)1)((axax对任意实数x成立，即使0122aaxx对任意实数x成立，所以0)1(412aa，解得2321a，故选C．【点拨】熟悉一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系．（８）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长的比值为m，则m的范围是（Ａ）)2,1(（Ｂ）),2(（Ｃ）),3[（Ｄ）),3(【答案】B【解答】∵钝角三角形三内角的度数成等差数列，∴其中一个角为60º，如图，直角三角形时，2m，所以钝角三角形时，有2m，故选B．【点拨】利用数形结合解题较快捷．（９）若直线02cyx按向量)1,1(a平移后与圆522yx相切，则c的值为（Ａ）８或－２（Ｂ）６或－４（Ｃ）４或－６（Ｄ）２或－８【答案】A【解答】由11yyxx，得11yyxx，所以02cyx平移后，得032cyx，其与圆522yx相切，即圆心到直线的距离为5，即55|3|c，解得8c或2c，故选A．【点拨】熟悉平移公式，直线与圆的位置关系应转化为圆心到直线的距离处理．（10）已知)(xfy是定义在Ｒ上的单调函数，实数21xx，1，121xx，112xx．若，则（Ａ）0（Ｂ）0（Ｃ）10（Ｄ）1【答案】A【解答】数形结合法：当0，如图Ａ所示，有|)()(||)()(|21ffxfxf，当0时，如图Ｂ所示，有|)()(||)()(|21ffxfxf，故选A．【点拨】数形结合解决定比分点问题．（11）已知双曲线的中心在原点，离心率为3．若它的一条准线与抛物线xy42的准线重合，则该双曲线与抛物线xy42的交点到原点的距离是（Ａ）632（Ｂ）21（Ｃ）21218（Ｄ）21【答案】B【解答】由3e，得3ac，由一条准线与抛物线xy42的准线重合，得准线为1x，所以12ca，故3a，3c，6b，所以双曲线方程为16322yx，由xyyx4163222，得交点为)12,3(，所以交点到原点的距离是21，故选Ｂ．【点拨】由已知条件发拨出a、b、c的取值，得到双曲线的方程．（12）一给定函数)(xfy的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1a，由关系式)(1nnafa得到的数列}{na满足)N(*1naann，则该函数的图象是11yxO11yxO11yxO11yxOyxO1x2xyxO1x2x图Ａ图Ｂ60（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）【答案】A【解答】由)(1nnafa，nnaa1，得nnaaf)(，即xxf)(，故选A．【点拨】分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．（13）62121)2(xx的展开式中常数项是______________．【答案】－160【解答】通项公式为rrrrrrxCxxC36216216)2()2()(，由03r，得3r，所以常数项是160)2(336C，【点拨】熟悉二项式展开式的通项公式．（14）如图，正方体的棱长为１，Ｃ、Ｄ分别是两条棱的中点，Ａ、Ｂ、Ｍ是顶点，那么点Ｍ到截面ABCD的距离是_____________．【答案】32【解答】如图建立空间直角坐标系xyzA，)0,0,0(A，)0,1,1(B，)1,21,0(D，)0,1,0(M，则)0,1,1(AB，)1,21,0(AD，)0,0,1(MB设),,1(yxn为平面ABCD法向量，则有00nADnAB，即0201yxx，解得211yx，即)21,1,1(n，所以点Ｍ到截面ABCD的距离322311nMBnMBd．【点拨】利用法向量求点到平面的距离是较好操作的方法．（15）用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不．相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答）【答案】576【解答】将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有482333A种，再将７、８插入4个空位中的两个有1224A种，故有5761248种．【点拨】相邻用捆绑法，不相邻用插空法（16）是正实数，设})](cos[)(|{是奇函数xxfS，若对每个实数a，S∩)1,(aaABCDMxyz的元素不超过２个，且有a使S∩)1,(aa含有２个元素，则的取值范围是___________．【答案】]2,(【解答】∵)(xf是奇函数，且Rx，∴0)0(f，∴2k，kZ，∵S∩)1,(aa的元素不超过２个，∴12，∴2，∵且有a使S∩)1,(aa含有２个元素，∴1，∴，∴2，【点拨】通过数轴得出S∩)1,(aa元素个数与两点间距离的关系再求解．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题共12分）。已知三棱锥Ｐ－ABC中，Ｅ、Ｆ分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．(Ⅰ)证明PC⊥平面PAB；(Ⅱ)求二面角Ｐ－AB－C的平面角的余弦值；(Ⅲ)若点Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长．(18)（本小题共12分）如图，在直径为１的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中0xy．(Ⅰ)将十字形的面积表示为的函数；(Ⅱ)为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？(19)（本小题共12分）已知函数)1(13)(xxxxf．设数列}{na满足11a，)(1nnafa，数列}{nb满足|3|nnab，21bbSn…)(*Nnbn，(Ⅰ)用数学归纳法证明12)13(nnnb；(Ⅱ)证明332nS．（20）（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有Ａ、Ｂ两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为Ａ级时，产品为一等品，其余均为二等品．ACBPFE2k2)1(k2)2(kxxyxyO（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为Ａ级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率Ｐ甲、Ｐ乙；（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在（Ⅰ）的条件下，求、的分布列及E、E；（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金如表三所示，该工厂有工人40名，可用资金60万，设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（Ⅱ）的条件下，x、y为何值时yExEz最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）（21）（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是)0,(1cF、)0,(2cF，Q是椭圆外的动点，满足aQF2||1，点Ｐ是线段QF1与该椭圆的交点，点Ｔ在线段QF2上，并且满足0||,022TFTFPT．（Ⅰ）设x为点Ｐ的横坐标，证明xacaPF||1；（Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；（Ⅲ）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△21MFF的面积2bS．若存在，求∠21MFF的正切值；若不存在，请说明理由．（22）（本小题满分12分）函数)(xfy在区间),0(内可导，导函数)(xf是减函数，且0)(xf．设),0(0x，mkxy是曲线)(xfy在点))(,(00xfx处的切线方程，并设函数mkxxg