当前位置:首页 > 幼儿/小学教育 > 小学教育 > 3.1.2空间向量的数乘运算-课件
3.1.23.1.2空间向量的数乘运算1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律,了解共线(平行)向量、共面向量的意义.2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论,并能运用它们证明空间向量的共线和共面问题.利用空间向量的数乘运算,理解和表示共线向量和共面向量,充分体现向量的工具性.3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点一空间向量的数乘运算问题1思考实数λ和空间向量a的乘积λa的意义?答案λ0时,λa和a方向相同;λ0时,λa的方向和a方向相反;λa的长度是a的长度的|λ|倍.问题2空间向量的数乘运算满足哪些运算律?答案空间向量的数乘运算满足分配律及结合律:分配律:λ(a+b)=λa+λb,结合律:λ(μa)=(λμ)a.3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效例1设A是△BCD所在平面外的一点,G是△BCD的重心.求证:AG→=13(AB→+AC→+AD→).证明连接BG,延长后交CD于点E,由G为△BCD的重心,知BG→=23BE→.由题意知E为CD的中点∴BE→=12BC→+12BD→.∴AG→=AB→+BG→=AB→+23BE→=AB→+13(BC→+BD→)=AB→+13[(AC→-AB→)+(AD→-AB→)]=13(AB→+AC→+AD→).小结应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量运算的前提,表示向量时要注意选定向量,明确转化的目标.3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点二向量共线问题问题1(1)两向量共线时,它们的方向有什么关系?(2)在两向量共线的充要条件中,为什么要求b≠0?答案(1)两向量共线,则它们的方向相同或相反.(2)由于我们已经规定了0与任意向量平行,所以当b=0时,a与b是共线向量,可如果a≠0,就不可能存在实数λ,使a=λb成立.共线向量的推论如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线,那么对于空间任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OP→=OA→+ta,①其中a叫直线l的____________.在l上取AB→=a,则①式可化为____________.用此推论可判断三点共线.方向向量OP→=OA→+tAB→3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1在如图所示的空间四边形ABCD中,E、F分别为AD、BC的中点.证明:EF→=12(AB→+DC→).证明EF→=EA→+AB→+BF→①又EF→=ED→+DC→+CF→②则①+②得2EF→=(EA→+AB→+BF→)+(ED→+DC→+CF→),又因为E、F分别为AD、BC的中点,所以EA→=-ED→,BF→=-CF→所以2EF→=(EA→+ED→)+(BF→+CF→)+(AB→+DC→)=AB→+DC→,所以EF→=12(AB→+DC→).3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效问题2向量共线在几何中有什么应用?答案利用向量共线可以证明几何中的两直线平行和三点共线问题.证明两直线平行要先证明两直线上的向量a,b平行,还要证明一条直线上有一点不在另一条直线上;证明三点A、B、C共线,只需证明存在实数λ,使AB→=λBC→或AB→=λAC→即可.3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效例2如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E在A1D1上,且A1E→=2ED1→,F在对角线A1C上,且A1F→=23FC→.求证:E,F,B三点共线.证明设AB→=a,AD→=b,AA1→=c.∵A1E→=2ED1→,A1F→=23FC→∴A1E→=23A1D1→,A1F→=25A1C→.∴A1E→=23AD→=23b,∴A1F→=25(AC→-AA1→)=25(AB→+AD→-AA1→)=25a+25b-25c.3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效∴EF→=A1F→-A1E→=25a-415b-25c=25a-23b-c.又EB→=EA1→+A1A→+AB→=-23b-c+a=a-23b-c,∴EF→=25EB→.所以E,F,B三点共线小结判定向量a,b共线,只需利用已知条件找到λ,使a=λb即可.证明点共线,只需证明对应的向量共线3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2如图所示,四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且CF→=23CB→,CG→=23CD→.求证:四边形EFGH是梯形.证明因为E,H分别是AB,AD的中点,所以AE→=12AB→,AH→=12AD→,所以AE→-AH→=12(AB→-AD→),即HE→=12DB→.同理CF→-CG→=23(CB→-CD→),即GF→=23DB→.所以HE→=34GF→,所以HE→∥GF→,且|HE→|≠|GF→|,又H,E,G,F不共线,所以四边形EFGH是梯形.3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点三向量共面问题问题1如何理解向量与平面平行?答案向量与平面平行,是指向量的基线与平面平行或向量的基线在平面内,它与直线和平面平行是不同的.问题2在三个向量共面的充要条件中,若两向量a、b共线,那么结论是否还成立?答案不成立.因为当p与a、b都共线时,存在不惟一的实数对(x,y)使p=xa+yb成立.当p与a,b不共线时,不存在实数对(x,y)使p=xa+yb成立.3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效问题3已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,满足向量关系式OP→=xOA→+yOB→+zOC→(其中x+y+z=1)的点P与点A,B,C是否共面?答案原式可以变形为OP→=(1-y-z)OA→+yOB→+zOC→∴OP→-OA→=y(OB→-OA→)+z(OC→-OA→),即AP→=yAB→+zAC→.∴点P与点A、B、C共面.3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效问题4向量共面在几何中有什么应用?答案利用向量共面可以证明四点共面、线面平行等问题.(1)判定或证明四点共面时,可以从以下两个方面考虑:①空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对(x,y),使MP→=xMA→+yMB→;②对于空间任意一点O,P,M,A,B四点共面(其中M,A,B不共线)的充分必要条件是OP→=xOM→+yOA→+zOB→(其中x+y+z=1).(2)要证明a∥α,只需在a上取向量a,证明a可以用平面α内两个不共线向量线性表示且说明a上有一点不在α内.3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效问题5已知A、B、M三点不共线,对于平面ABM外的任一点O,确定在下列各条件下,点P是否与A、B、M一定共面?(1)OB→+OM→=3OP→-OA→;(2)OP→=4OA→-OB→-OM→.解(1)原式可变形为OB→=OP→+(OP→-OA→)+(OP→-OM→)=OP→-PA→-PM→,即PB→=OB→-OP→=-PA→-PM→.由向量共面的充要条件知P与A、B、M共面.3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效(2)原式可变形为OP→=2OA→+OA→-OB→+OA→-OM→=2OA→+BA→+MA→.由向量共面的充要条件可得P位于平面ABM内的充要条件可写成OP→=OA→+xBA→+yMA→.而此题推得OP→=2OA→+BA→+MA→,∴P与A、B、M不共面.小结判断点P是否位于平面MAB内,关键是看向量MP→能否用向量MA→、MB→表示(或看向量OP→是否能写成OM→+xMA→+yMB→的形式).当MP→能用MA→、MB→表示时,P位于平面MAB内;当MP→不能用MA→、MB→表示说明P在平面MAB外.3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效例3如图所示,已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,并且使OEOA=OFOB=OGOC=OHOD=k,求证:E,F,G,H四点共面.证明因为OEOA=OFOB=OGOC=OHOD=k,所以OE→=kOA→,OF→=kOB→,OG→=kOC→,OH→=kOD→.由于四边形ABCD是平行四边形所以AC→=AB→+AD→.3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效因此EG→=OG→-OE→=kOC→-kOA→=kAC→=k(AB→+AD→)=k(OB→-OA→+OD→-OA→)=OF→-OE→+OH→-OE→=EF→+EH→.由向量共面的充要条件知E,F,G,H四点共面.小结证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个向量进行表示.3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=13BD,AN=13AE.求证:向量MN→,CD→,DE→共面.证明因为M在BD上,且BM=13BD,所以MB→=13DB→=13DA→+13AB→.同理AN→=13AD→+13DE→.所以MN→=MB→+BA→+AN→=13DA→+13AB→+BA→+13AD→+13DE→=23BA→+13DE→=23CD→+13DE→.又CD→与DE→不共线根据向量共面的充要条件可知MN→,CD→,DE→共面.3.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1.下列命题中是真命题的是()A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反C.若向量AB→,CD→满足|AB→||CD→|,且AB→与CD→同向,则AB→CD→D.若两个非零向量AB→与CD→满足AB→+CD→=0,则AB→∥CD→3.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处解析A错.因为空间任两向量平移之后可共面,所以空间任意两向量均共面.B错.因为|a|=|b|仅表示a与b的模相等,与方向无关.C错.因为空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比较,因此也就没有AB→CD→这种写法.D对.∵AB→+CD→=0,∴AB→=-CD→,∴AB→与CD→共线,故AB→∥CD→正确.答案D3.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处2.空间的任意三个向量a,b,3a-2b,它们一定是()A.共线向量B.共面向量C.不共面向量D.既不共线也不共面向量解析如果a,b是不共线的两个向量,由共面向量定理知a,b,3a-2b共面;若a,b共线,则a,b,3a-2b共线,当然也共面.B3.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处3.对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C有6OP→=OA→+2OB→+3OC→,则()A.四点O,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,C必共面解析由6OP→=OA→+2OB→+3OC→,得(OA→-OP→)=2(OP→-OB→)+3(OP→-OC→),即PA→=2BP→+3CP→.由共面向量定理,知P,A,B,C四点共面.B4.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC→=a,BD→=b,则AF→=______________.23a+13b3.1.2填一填·知识要点、记下疑难点1.空间向量的数乘运算(1)向量的数乘:实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量,记作_______,称为_______________.当λ0时,λa与向量a方向________;当λ0时,λa与向量a方向________;λa的长度是a的长度的________倍.(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律:分配律:________________,结合律:_______________.λa向量的数乘运算相同相反|λ|λ(a+b)=λa+λbλ(μa)=(λμ)a3.1.2填一填·知识要点、记下疑难点2.共线向量(1)共线向量定义表示空间向量a,b的有向线段所在的直线__________________,则向量a,b叫做__________或__________,记作________.(2)
本文标题:3.1.2空间向量的数乘运算-课件
链接地址:https://www.777doc.com/doc-7807284 .html