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分层练透教材，多重拓展培优第五章·一元一次方程数学·七年级上册·北师课时学习区专题1利用一元一次方程的相关概念求字母的值专项素养拓训1.已知x=12是关于x的方程6(2x+m)=3m+2的解,求关于y的方程my+2=m(1-2y)的解.答案1.【解析】将x=12代入方程6(2x+m)=3m+2,得6×(2×12+m)=3m+2,解得m=-43.将m=-43代入方程my+2=m(1-2y),得-43y+2=-43(1-2y),解得y=56.2.[2020湖南娄底期末]已知方程2(a-1)-3(a+1)=0的解与关于x的方程𝑘+𝑥2-3k-2=2x的解互为相反数,求k的值.答案2.【解析】解方程2(a-1)-3(a+1)=0,得a=-5,则关于x的方程𝑘+𝑥2-3k-2=2x的解为x=5.把x=5代入𝑘+𝑥2-3k-2=2x,得𝑘+52-3k-2=10,去分母,得k+5-6k-4=20,移项、合并同类项,得-5k=19,解得k=-195.3.已知(a+b)y2-𝑦13𝑎+2+5=0是关于y的一元一次方程.(1)求a,b的值;(2)若x=a是关于x的方程𝑥+26−𝑥−12+3=x-𝑥−2𝑚6的解,求|a-b|-|b-m|的值.答案3.【解析】(1)由题意,得a+b=0,13a+2=1,解得a=-3,b=3.(2)将x=a=-3代入方程𝑥+26−𝑥−12+3=x-𝑥−2𝑚6,得-16+2+3=-3-−3−2𝑚6,解得m=22.所以|a-b|-|b-m|=|-3-3|-|3-22|=-13.专题2求解一元一次方程专项素养拓训4.已知y1=-23x+1,y2=16x-5,若y1+y2=20,则x=.答案4.-48【解析】由题意得-23x+1+16x-5=20,整理得-12x=24,解得x=-48.5.解方程:(1)12(2x+5)=4𝑥+34−2−3𝑥8;(2)4𝑥+95−0.3+0.2𝑥0.3=𝑥−52.答案5.【解析】(1)去分母,得4(2x+5)=2(4x+3)-(2-3x),去括号,得8x+20=8x+6-2+3x,移项、合并同类项得-3x=-16,系数化为1,得x=163.(2)原方程可化为4𝑥+95−3+2𝑥3=𝑥−52,去分母,得24x+54-30-20x=15x-75,移项,得24x-20x-15x=-75-54+30,合并同类项,得-11x=-99,系数化为1,得x=9.专题3应用题中的分类讨论问题专项素养拓训6.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机,已知该厂家生产的三种不同型号的电视机的出厂价分别是甲种电视机每台1500元,乙种电视机每台2100元,丙种电视机每台2500元.若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台,恰好用去9万元.(1)请你设计进货方案.(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元,销售一台乙种电视机可获利200元,销售一台丙种电视机可获利250元,在同时购进两种不同型号电视机的方案中,为使获利最多,则该选择哪种进货方案?答案6.【解析】(1)①设购进甲种电视机x台,购进乙种电视机(50-x)台.由题意,得1500x+2100(50-x)=90000,解得x=25.则50-x=25.②设购进乙种电视机y台,购进丙种电视机(50-y)台.由题意,得2100y+2500(50-y)=90000,解得y=87.5(不合题意,舍去).答案③设购进甲种电视机z台,购进丙种电视机(50-z)台.由题意,得1500z+2500(50-z)=90000,解得z=35.则50-35=15.故有两种进货方案,方案1:购进甲、乙两种电视机各25台.方案2:购进甲种电视机35台,丙种电视机15台.(2)选择方案2.理由如下:由题意,知选择方案1获利25×150+25×200=8750(元),选择方案2获利35×150+15×250=9000(元),因为87509000,所以选择方案2,即购进甲种电视机35台,丙种电视机15台.7.为增强公民节水意识,合理利用水资源,某市采用“阶梯收费”,标准如下表:例如:某用户2月份用水9m3,则应缴纳水费2×6+4×(9-6)=24(元).(1)某用户3月份用水15m3,应缴纳水费多少元?(2)已知某用户4月份缴纳水费20元,求该用户4月份的用水量;(3)若某用户5,6月份共用水20m3(6月份用水量超过5月份用水量),共交水费64元,则该用户5,6月份分别用水多少立方米?用水量价格/(元/m3)不超过6m3的部分2超过6m3不超过10m3的部分4超出10m3的部分8答案7.【解析】(1)应缴纳水费2×6+4×(10-6)+8×(15-10)=68(元).(2)因为该用户4月份缴纳水费20元,2×6+4×(10-6)=28,2028,答案所以该用户4月份用水量不超过10m3.设该用户4月份用水xm3,根据题意,得6×2+4(x-6)=20,解得x=8,故该用户4月份用水8m3.(3)设5月份用水ym3,则6月份用水(20-y)m3.当5月份用水不超过6m3时,根据题意,得2y+2×6+4×4+8(20-y-10)=64,解得y=2236,不符合题意;当5月份用水超过6m3但不超过10m3时,根据题意,得6×2+4(y-6)+6×2+4×4+8(20-y-10)=64,解得y=8,符合题意,此时20-y=12.所以该用户5月份用水8m3,6月份用水12m3.8.某商场经销甲、乙两种商品,甲种商品每件售价60元,利润率为50%;乙种商品每件进价50元,售价80元.(1)甲种商品每件进价为元,乙种商品的利润率为.(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件,恰好总进价为2100元,则购进甲种商品多少件?(3)在“元旦”期间,该商场针对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动:按上述优惠条件,若小华一次性购买乙种商品实际付款504元,则小华在该商场购买乙种商品多少件?打折前一次性购物总金额优惠措施不超过450元不优惠超过450元,但不超过600元按售价打9折优惠超过600元其中600元部分打8.2折优惠,超过600元的部分打3折优惠答案8.【解析】(1)4060%设甲种商品进价为a元/件,则60-a=50%a,解得a=40.故甲种商品进价为40元/件.乙商品的利润率为(80-50)÷50=60%.(2)设购进甲种商品x件,则购进乙种商品(50-x)件,由题意,得40x+50(50-x)=2100,解得x=40,则50-x=10.故购进甲种商品40件,乙种商品10件.(3)设小华打折前应付款y元,分两种情况:①当打折前购物金额超过450元,但不超过600元时,由题意,得0.9y=504,解得y=560,560÷80=7(件);②当打折前购物金额超过600元时,由题意,得600×0.82+(y-600)×0.3=504,解得y=640,640÷80=8(件).综上,可得小华在该商场购买乙种商品7件或8件.9.[2020浙江金华期末]古代名著《算学启蒙》中有一题:良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行十二日,问良马几何追及之?若设良马x天可追上驽马.(1)当良马追上驽马时,驽马行了里.(用x的代数式表示)(2)求x的值.(3)若两匹马从A站出发行往B站,并停留在B站,已知A,B两站之间的距离为7500里,同样驽马先行十二日,请问:良马出发几天后,两者相距450里?答案9.【解析】(1)(150x+1800)因为150×12=1800(里),所以当良马追上驽马时,驽马行了(150x+1800)里.(2)依题意,得240x=150x+1800,解得x=20.所以x的值为20.答案(3)由题意知良马先到达B站.设良马出发y天后,两者相距450里.①当良马未追上驽马时,由题意,得150(y+12)-240y=450,解得y=15;②当良马追上驽马,但未到达B站时,由题意,得240y-150(y+12)=450,解得y=25;③当良马到达B站时,由题意,得7500-150(y+12)=450,解得y=35.综上所述,良马出发15,25或35天后,两者相距450里.综合素养拓训对方程的学习贯穿整个中学阶段,方程及方程思想是解决其他数学问题的重要工具,方程模型是初中阶段常见的数学模型之一.学会在实际情境中从数学的视角发现问题,对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题,构建数学模型求解问题,是中学生必备的素养.例如第4题,就是通过设元构建方程将无限循环小数转化为分数,体现数学建模和方程思想.1.[方程模型解决日历图中的数字问题]在如图所示的日历图中,可以用一个长方形圈出3×3的9个数(如3,4,5,10,11,12,17,18,19).若用这样的长方形任意圈出这张日历图中的9个数,则圈出的9个数的和不可能为下列数中的()A.81B.90C.108D.216答案1.D【解析】设位于长方形中心位置的数为x,则它上面的数是x-7,下面的数是x+7,左边的数是x-1,右边的数是x+1,左上方的数是x-8,左下方的数是x+6,右上方的数是x-6,右下方的数是x+8,则长方形圈出的9个数的和为x+(x-1)+(x+1)+(x-7)+(x+7)+(x-8)+(x-6)+(x+6)+(x+8)=9x.如果9x=81,那么x=9,不符合题意;如果9x=90,那么x=10,不符合题意;如果9x=108,那么x=12,不符合题意;如果9x=216,那么x=24,此时最大数x+8=32,不是日历图中的数,符合题意.故选D.2.[裂项法解方程]方程𝑥3+𝑥15+𝑥35+⋯+𝑥2019×2021=1的解是()A.x=20202021B.x=20212020C.x=20211010D.x=10102021答案2.C【解析】𝑥3+𝑥15+𝑥35+⋯+𝑥2019×2021=1即x(13+115+135+⋯+12019×2021)=1,将方程变形,得x[12(1-13)+12(13−15)+12(15−17)+⋯+12(12019−12021)]=1,即𝑥2(1-13+13−15+15−17+⋯+12019−12021)=1,即𝑥2(1-12021)=1,系数化为1,得x=20211010.故选C.3.抄写一份材料,每分钟抄写30个字,若干分钟可以抄完,当抄写完25时,决定提高50%的效率,结果提前20分钟抄完,这份材料有个字.答案3.3000【解析】设这份材料有x个字,根据题意得25𝑥30+(1−25)𝑥30×(1+50%)+20=𝑥30,去分母得6x+6x+9000=15x,解得x=3000.4.[方程在无限循环小数与分数的转化中的应用]我们知道,无限循环小数都可以转化为分数.例如:将0.3·转化为分数时,可设0.3·=x,则x=0.3+110x,解得x=13,即0.3·=13.仿此方法,将0.4·5·化成分数是.答案4.511【解析】设0.4·5·=x,则x=0.45+1100x,解得x=511.5.先阅读材料,再解答问题.|x+2|=3,我们可以将x+2视为一个整体,由于绝对值为3的数有两个,所以x+2=3或x+2=-3,解得x=1或x=-5.请按照上面的解法解方程:x-|23x+1|=1.答案5.【解析】当23x+1是非负数时,原方程可化为x-(23x+1)=1,解得x=6,因为23×6+1=5,所以x=6是原方程的解;当23x+1是负数时,原方程可化为x-[-(23x+1)]=1,解得x=0,因为23×0+1=1,1不是负数,所以x=0不是原方程的解.综上,原方程的解为x=6.6.已知甲、乙两人在一条200米的环形跑道上练习跑步,现在把跑道分成相等的4段,即两条直道和两条弯道的长度相同.甲平均每秒跑4米,乙平均每秒跑6米,若甲、乙两人分别从A,C两处同时相向出发(如图所示),请回答:(1)多少秒后两人首次相遇?并说出此时他们在跑道上的具体位置.(2)首次相遇后,又经过多长时间他们再次相遇?(3)他们第10次相遇时,在哪一段跑