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第26章二次函数阶段自测(一)1．下列函数中，是二次函数的有()①y＝1－2x2；②y＝1x2；③y＝x(1－x)；④y＝(1－2x)(1＋2x).A．1个B．2个C．3个D．4个C2．(衢州中考)二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是()A．(1，3)B．(1，－3)C．(－1，3)D．(－1，－3)3．(2020·温州)已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则()A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2AB4．(2020·宿迁)将二次函数y＝(x－1)2＋2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为()A．y＝(x＋2)2－2B．y＝(x－4)2＋2C．y＝(x－1)2－1D．y＝(x－1)2＋55．(2020·杭州)设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，则下列结论正确的是()A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0DC6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是()D7．(2020·恩施州)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－2，0)，B(1，0)两点．则以下结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为x＝－1；③2a＋c＝0；④a－b＋c＞0.其中正确的有()个．A．0B．1C．2D．3C8．(2020·无锡)请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：___________．9．抛物线y＝－2x2－x＋3与y轴的交点坐标是__________.10．(株洲中考)若二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，则a____0.(填“＝”或“＞”或“＜”)11．已知二次函数y＝x2＋2mx＋2，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是______________.y＝x2(0，3)＜m≥－212．(2020·连云港)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x(单位：min)满足函数表达式y＝－0.2x2＋1.5x－2，则最佳加工时间为____min.13．若二次函数y＝－x2＋5中，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，当x取x1＋x2时，函数值为____．3.755三、解答题(共48分)14．(10分)已知抛物线的顶点坐标为(－1，－2)，且抛物线过点(－2，－1).(1)确定抛物线的表达式；(2)画出这个函数的图象．解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2－2.把x＝－2，y＝－1代入，得－1＝a－2，∴a＝1，∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－1(2)列表：x…－4－3－2－1012…y＝x2＋2x－1…72－1－2－127…图象如图所示15．(12分)(2020·仙桃)把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2.(1)直接写出抛物线C2的函数关系式；(2)动点P(a，－6)能否在抛物线C2上？请说明理由；(3)若点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．解：(1)∵y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝(x＋1－4)2＋2－5，即y＝(x－3)2－3，∴抛物线C2的函数关系式为：y＝(x－3)2－3(2)动点P(a，－6)不在抛物线C2上，理由如下：∵抛物线C2的函数关系式为：y＝(x－3)2－3，∴函数的最小值为－3，∵－6＜－3，∵动点P(a，－6)不在抛物线C2上(3)∵抛物线C2的函数关系式为：y＝(x－3)2－3，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，∵点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，∴y1＞y216．(12分)(2020·宁夏)如图①放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF(∠B＝∠E＝30°)，若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止)，移动过程中始终保持点B，F，C，E在同一条直线上，如图②，AB与DF，DE分别交于点P，M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF＝3，设三角板ABC移动时间为x秒．(1)在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；(2)计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？解：(1)∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵∠E＝30°，∴∠EQC＝∠AQM＝60°，∴△AMQ为等边三角形，过点M作MN⊥AQ，垂足为点N.在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝AC·tanA＝3，∴EF＝BC＝3，根据题意可知CF＝x，∴CE＝EF－CF＝3－x，CQ＝CE·tanE＝33(3－x)，∴AQ＝AC－CQ＝3－33(3－x)＝33x，∴AM＝AQ＝33x，而MN＝AM·sinA＝12x，∴S△AMQ＝12AQ·MN＝12×33x·12x＝312x2(2)由(1)知BF＝CE＝3－x，PF＝BF·tanB＝33(3－x)，∴S重叠＝S△ABC－S△AMQ－S△BPF＝12AC·BC－12AQ·MN－12BF·PF＝12×3×3－312x2－12(3－x)33(3－x)＝－34x2＋3x＝－34(x－2)2＋3，所以当x＝2时，重叠部分面积最大，最大面积是317．(14分)(2020·娄底)如图，抛物线经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3).(1)求抛物线的表达式；(2)点P(m，n)是抛物线上的动点，当－3＜m＜0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大；(3)抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2－DC2＝6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可设抛物线的表达式为y＝a(x＋3)(x－1)，把C(0，3)代入，可得a＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3(2)设直线AC的表达式为y＝kx＋b，将A(－3，0)，C(0，3)代入得到0＝－3k＋b，3＝b，解得k＝1，b＝3，∴直线AC的表达式为y＝x＋3.当－3＜m＜0时，点P(m，n)在直线AC的上方，过点P作x轴的垂线交AC于Q，如图①，则P(m，－m2－2m＋3)，Q(m，m＋3)，∴PQ＝－m2－2m＋3－(m＋3)＝－m2－3m＝－(m＋32)2＋94，∵－3＜m＜0，∴当m＝－32时，PQ的值最大，此时S△PAC＝12PQ·AO＝32PQ最大，∴m＝－32(3)由A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，可得AB＝4，OB＝1，OC＝3，∵BC2＝10，∠CAO＝45°，∴BA2－BC2＝6，如图②，连结BC，过点B作AC的垂线交抛物线于D，交AC于H.则∠AHB＝90°，∠DBA＝∠CAO＝45°，∴DA2－DC2＝HA2－HC2＝AB2－BC2＝6，∵∠CAO＝∠DBA，∴BD，AC关于AB的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴x＝－1对称，∴点D与点C关于抛物线的对称轴x＝－1对称，∵C(0，3)，∴点D的坐标为(－2，3)