第十一篇复数、算法、推理与证明返回导航第4节直接证明与间接证明、数学归纳法最新考纲1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.返回导航【教材导读】1.综合法和分析法有什么区别与联系?提示:(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是寻求它成立的充分条件.(2)综合法的特点是从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是寻找它成立的必要条件.(3)分析法易于探索解题思路,综合法易于过程表述,在应用中视具体情况择优选之.返回导航2.用反证法证明问题的一般步骤有哪些?提示:(1)反设(否定结论):假定所要证的结论不成立,而结论的反面成立;(2)归谬(推导矛盾):将“反设”作为条件,由此出发,经过正确的推理导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(3)定论(肯定结论):矛盾产生的原因在于“反设”的谬误,既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.返回导航3.数学归纳法两个步骤有什么关系?提示:数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,两个步骤缺一不可,否则就会导致错误.(1)第一步中,验算n=n0中的n0不一定为1,根据题目要求,有时可为2或3等.返回导航1.直接证明(1)综合法定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.返回导航(2)分析法定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法.2.间接证明——反证法一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.返回导航3.数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)归纳奠基:证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;(2)归纳递推:假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.返回导航1.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”过程应用了()(A)分析法(B)综合法(C)综合法、分析法结合使用(D)间接证法B解析:在证明过程中使用了大量的公式和结论,有平方差公式,同角的关系式,所以在证明过程中,使用了综合法的证明方法.返回导航2.设0<x<1,a>0,b>0,a,b为常数,a2x+b21-x的最小值是()(A)4ab(B)2(a2+b2)(C)(a+b)2(D)(a-b)2返回导航C解析:方法一:设x=cos2α,则1-x=sin2α,∴a2x+b21-x=a2cos2α+b2sin2α=a2(1+tan2α)+b2(1+1tan2x)=a2+b2+a2tan2α+b21tan2x≥a2+b2+2ab=(a+b)2.方法二:a2x+b21-x(x+1-x)=a2+a2(1-x)x+b2x1-x+b2≥a2+b2+2ab=(a+b)2.返回导航3.设a=lg2+lg5,b=ex(x<0),则a与b的大小关系为()(A)a>b(B)a<b(C)a=b(D)a≤b答案:A返回导航4.若P=a+a+7,Q=a+3+a+4(a≥0),则P,Q的大小关系是()(A)P>Q(B)P=Q(C)P<Q(D)由a的取值确定答案:C返回导航5.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,三边a,b,c应满足________.答案:b2+c2<a2返回导航考点一综合法如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AD=a,AB=2a,E、F分别为C1D1、A1D1的中点.求证:(1)DE⊥平面BCE;(2)AF∥平面BDE.返回导航证明:(1)∵BC⊥侧面CDD1C1,DE⊂侧面CDD1C1,∴DE⊥BC.在△CDE中,CD=2a,CE=DE=2a,则有CD2=CE2+DE2,∴∠DEC=90°,∴DE⊥EC.又∵BC∩EC=C,∴DE⊥平面BCE.返回导航(2)如图所示,连结EF、A1C1,连结AC交BC于O.∵EF綊12A1C1,AO綊12A1C1,∴四边形AOEF是平行四边形,∴AF∥OE.又∵OE⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,∴AF∥平面BDE.返回导航【反思归纳】(1)综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证结论的真实性.(2)结合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.返回导航【即时训练】已知a>0,b>0,证明:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:因为b2+c2≥2bc,a>0,所以a(b2+c2)≥2abc,又因为c2+a2≥2ac,b>0,所以b(c2+a2)≥2abc,因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.返回导航考点二分析法(1)设x≥1,y≥1,证明:x+y+1xy≤1x+1y+xy;(2)1<a≤b≤c,证明:logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.返回导航解析:(1)由于x≥1,y≥1,所以要证明x+y+1xy≤1x+1y+xy,只要证明xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2,只要证明(xy)2-1+(x+y)-xy(x+y)≥0,只要证明(xy-1)(xy+1-x-y)≥0,只要证明(xy-1)(x-1)(y-1)≥0.由于x≥1,y≥1,上式显然成立,所以原命题成立.返回导航(2)设logab=x,logbc=y,则logca=1logbclogab=1xy,logba=1x,logcb=1y,logac=xy,所以要证明不等式logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac,即证x+y+1xy≤1x+1y+xy.因为c≥b≥a>1,所以x=logab≥1,y=logbc≥1,由(1)知所要证明的不等式成立.返回导航【反思归纳】(1)分析法是“执果索因”的证明方法,它是从结论入手,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证.(2)用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P,再说明所要证明的数学问题成立.返回导航【即时训练】已知a0,1b-1a1,求证:1+a11-b.证明:由已知1b-1a1及a0可知0b1,要证1+a11-b,只需证1+a·1-b1,只需证1+a-b-ab1,只需证a-b-ab0,即a-bab1,即1b-1a1.这是已知条件,所以原不等式得证.返回导航考点三反证法等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+2,S3=9+32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;(2)设bn=Snn(n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.返回导航解析:(1)由已知得a1=2+1,3a1+3d=9+32,所以d=2,故an=2n-1+2,Sn=n(n+2).(2)由(1),得bn=Snn=n+2.假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则b2q=bpbr,即(q+2)2=(p+2)(r+2),所以(q2-pr)+2(2q-p-r)=0.返回导航因为p,qr∈N*,所以q2-pr=0,2q-p-r=0,所以(p+r2)2=pr,(p-r)2=0.所以p=r,这与p≠r矛盾,所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.返回导航【反思归纳】(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法来证.(2)利用反证法进行证明时,一定要对所要证明的结论进行否定性的假设,并以此为条件进行归谬,得到矛盾,则原命题成立.返回导航【即时训练】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且0xc时,f(x)0.(1)证明:1a是函数f(x)的一个零点;(2)试用反证法证明1ac.返回导航证明:(1)因为f(x)图象与x轴有两个不同的交点,所以f(x)=0有两个不等实根x1,x2,因为f(c)=0,所以x1=c是f(x)=0的根,又x1x2=ca,所以x2=1a(1a≠c),所以1a是f(x)=0的一个根,即1a是函数f(x)的一个零点.返回导航(2)假设1ac,又1a0,由0xc时,f(x)0,知f(1a)0与f(1a)=0矛盾,所以1a≥c,又因为1a≠c,所以1ac.返回导航考点四数学归纳法设f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*).求证:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·[f(n)-1](n≥2,n∈N*).解:(1)当n=2时,左边=f(1)=1,右边=21+12-1=1,左边=右边,等式成立.返回导航(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时,结论成立,即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1],那么,当n=k+1时,f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)[f(k+1)-1k+1]-k=(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)[f(k+1)-1],∴当n=k+1时结论仍然成立.∴f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·[f(n)-1](n≥2,n∈N*).返回导航【反思归纳】(1)利用数学归纳法可以证明与n有关的命题,也可以解决与正整数n有关的探索性问题,其基本模式是“归纳—猜想—证明”.证明的关键是假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立,由归纳假设推证n=k+1时命题成立.(2)证明n=k+1(k∈N*,k≥n0)时命题成立的常用技巧.①分析n=k+1时命题与n=k时命题形式的差别,确定证明目标.②证明恒等式时常用乘法公式、因式分解、添拆项配方等;证明不等式常用分析法、综合法、放缩法等.返回导航【即时训练】用数学归纳法证明:12×4+14×6+16×8+…+12n(2n+2)=n4(n+1)(n∈N*).证明:(1)当n=1时,左边=12×1×(2×1+2)=18,右边=14×(1+1)=18.左边=右边,所以等式成立.返回导航(2)假设n=k(k∈N*且k≥1)时等式成立,即有12×4+14×6+16×8+…+12k(2k+2)=k4(k+1),则当n=k+1时,返回导航12×4+14×6+16×8+…+12k(2k+2)+12(k+1)[2(k+1)+2]=k4(k+1)+14(k+1)(k+2)=k(k+2)+14(k+1)(k+2)=(k+1)24(k+1)(k+2)=k+14(k+2)=k+14(k+1+1).所以当n=k+1时,等式也成立,由(1)(2)可知,对于一切n∈N*,等式都成立.返回导航正确选用合理的数学证明方法函数f(x)=x2-2x-3.定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.(1)证明:2≤xnxn+13;(2)求数列{xn}的通项公式.返回导航审题点拨关键点所获信息函数f(x)f(x)=x2-2x-3数列{xn}x1=2,xn+1是直线PQn与x轴交点的横坐标解题突破:(1)数学归
本文标题:2020版高考数学一轮复习 第十一篇 复数、算法、推理与证明 第4节 直接证明与间接证明、数学归纳法
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