2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的

第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程第二章圆锥曲线与方程考点学习目标核心素养曲线与方程了解曲线与方程的概念,理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系,领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义数学抽象求曲线的方程掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法,熟悉求曲线方程的五个步骤逻辑推理、直观想象问题导学预习教材P34～P37,并思考下列问题：1.曲线的方程、方程的曲线的定义分别是什么？2.求曲线方程的一般步骤是什么？1.曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是______________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是____________,那么,这个方程叫做___________；这条曲线叫做___________.这个方程的解曲线上的点曲线的方程方程的曲线■名师点拨轨迹与轨迹方程的区别求轨迹方程只需求出方程即可,而求轨迹时,首先求出轨迹方程,然后再说明轨迹的形状、位置、大小.若轨迹有不同的情况,应分别讨论,以保证它的全面性.求轨迹方程时,要注意曲线上的点与方程的解是一一对应的关系,检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是不是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.2.求曲线的方程的步骤■名师点拨如果题目中没有确定平面直角坐标系,应首先建立适当的平面直角坐标系,坐标系建立适当,所得方程也较为简单.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)x2＋y2＝1(x＞0)表示的曲线是单位圆.()(2)若点M(x,y)的坐标是方程f(x,y)＝0的解,则点M在曲线f(x,y)＝0上.()(3)方程y＝x与方程y＝x2x表示同一曲线.()×√×方程y＝|x|所表示的曲线是()答案：D已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－3,0),B(3,0),则顶点C的轨迹是()A.一条直线B.一条直线去掉一点C.一个点D.两个点答案：B已知两定点A(－2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|＝2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A.πB.4πC.8πD.9π答案：B已知方程x2＋y2＝5表示的曲线经过点A(2,m),则m的值为__________.答案：±3(1)已知0≤α＜2π,点P(cosα,sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上,则α的值为()A.π3B.5π3C.π3或5π3D.π3或π6曲线与方程的概念(2)“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)＝0的解”是“曲线C的方程是f(x,y)＝0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【解析】(1)将点P的坐标代入曲线(x－2)2＋y2＝3中,得(cosα－2)2＋sin2α＝3,解得cosα＝12.又0≤α＜2π,所以α＝π3或5π3.故选C.(2)“曲线C的方程是f(x,y)＝0”包括“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)＝0的解”和“以方程f(x,y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两个方面,所以“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)＝0的解”是“曲线C的方程是f(x,y)＝0”的必要不充分条件.故选C.【答案】(1)C(2)C判定曲线和方程对应关系的两个关注点(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”,称为纯粹性.(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性.[注意]只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.1.已知直线l：x－y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2,则点M(4,1)()A.在直线l上,但不在曲线C上B.在直线l上,也在曲线C上C.不在直线l上,但在曲线C上D.不在直线l上,也不在曲线C上解析：选B.将点M的坐标分别代入直线l的方程和曲线C的方程,都成立,所以选B.2.已知坐标满足方程F(x,y)＝0的点都在曲线C上,下列命题正确的是()A.曲线C上的点的坐标都满足方程F(x,y)＝0B.不在曲线C上的点的坐标都不满足方程F(x,y)＝0C.坐标不满足方程F(x,y)＝0的点都不在曲线C上D.曲线C是坐标满足方程F(x,y)＝0的点的轨迹解析：选B.因为选项B与已知条件互为逆否命题,由原命题与它的逆否命题同真假可知B正确.故选B.(1)如图所示,方程y＝|x|x2表示的曲线是()由方程判断曲线(2)方程(x＋y－1)·x2＋y2－4＝0所表示的曲线是()【解析】(1)因为y＝|x|x2＝1x，x0，－1x，x0，所以函数值恒为正,且在(－∞,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减.故选B.(2)原方程等价于x＋y－1＝0，x2＋y2≥4或x2＋y2－4＝0.当x＋y－1＝0时,原方程所表示的曲线是在直线x＋y－1＝0上且不在圆x2＋y2＝4内的所有点.显然x2＋y2－4＝0表示圆x2＋y2＝4上各点.综上,可知正确答案为D.【答案】(1)B(2)D(1)方程表示的曲线的判断步骤(2)判断方程表示曲线的注意事项①方程变形前后要等价,否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线；②当方程中含有绝对值时,常采用分类讨论的思想.1.下列选项中方程与曲线能够对应的是()解析：选C.A中方程表示圆,B中方程表示两条直线y＝x和y＝－x；D中方程可化为y＝1x(x0),只能取第一象限的图象.2.下列方程分别表示什么曲线？(1)x2＋(x2＋y2－4)2＝0；(2)2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(3)(x－2)2＋y2－4＝0.解：(1)由方程x2＋(x2＋y2－4)2＝0可得x2＝0且x2＋y2－4＝0,即x＝0,y＝－2或x＝0,y＝2,故方程表示两个点(0,－2)和(0,2).(2)将方程左边进行配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0.因为2(x－1)2≥0,(y＋1)2≥0,所以2（x－1）2＝0，（y＋1）2＝0，解得x＝1，y＝－1.故方程表示的图形是一个点(1,－1).(3)由(x－2)2＋y2－4＝0得x－2＝0，y2－4＝0，所以x＝2，y＝2或x＝2，y＝－2.故方程表示两个点(2,2)和(2,－2).设圆C：(x－1)2＋y2＝1,过原点O作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程.求曲线的方程【解】法一(直接法)：设OQ为过O点的一条弦,P(x,y)为其中点,则CP⊥OQ.因为OC的中点为M12，0,连接MP,故|MP|＝12|QC|＝12,得方程x－122＋y2＝14,由圆的范围知0x≤1.法二(定义法)：因为∠OPC＝90°,所以动点P在以点M12，0为圆心,OC为直径的圆上.由圆的方程得x－122＋y2＝14(0x≤1).法三(代入法)：设所作弦OQ的中点P(x,y),Q(x1,y1),则x＝x12，y＝y12⇒x1＝2x，y1＝2y.又因为点Q(x1,y1)在圆C上,所以(x1－1)2＋y21＝1,所以(2x－1)2＋(2y)2＝1,即x－122＋y2＝14(0x≤1).法四(参数法)：设动弦OQ的方程为y＝kx,代入圆的方程得(x－1)2＋k2x2＝1,即(1＋k2)x2－2x＝0,所以x＝x1＋x22＝11＋k2,y＝kx＝k1＋k2,消去k即可得(2x－1)2＋(2y)2＝1,即x－122＋y2＝14(0x≤1).求曲线的方程的常用方法(1)直接法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系“翻译”成含x、y的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)相关点法(代入法)有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.(3)定义法若动点的轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量.(4)参数法在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求出所求轨迹的方程.1.到两坐标轴距离之和等于1的点的轨迹方程是()A.x＋y＝1B.x＋y＝±1C.|x|＋|y|＝1D.|x＋y|＝1解析：选C.动点P(x,y)到x轴和y轴上的距离分别为|y|和|x|,故有|x|＋|y|＝1.2.已知Rt△ABC中,∠C为直角,且A(－1,0),B(1,0),则满足条件的C的轨迹方程为________.解析：设线段AB的中点为O,因为在Rt△ABC中,∠C为直角,所以点C到AB的中点的距离为|AB|的一半,即|OC|＝1.所以点C的轨迹是以O(0,0)为圆心,1为半径的圆,故圆的方程为x2＋y2＝1.由A,B,C三点所连线段构成三角形,可知x≠±1,所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(x≠±1).答案：x2＋y2＝1(x≠±1)3.已知点P是直线x－2y＋3＝0上的一个动点,定点M(－1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|＝|MQ|,则点Q的轨迹方程是________.解析：设P(x0,y0),则x0－2y0＋3＝0(*).又设Q(x,y),由|PM|＝|MQ|,知点M是线段PQ的中点,则－1＝x0＋x2，2＝y0＋y2，即x0＝－2－x，y0＝4－y，(**)将(**)代入(*),得(－2－x)－2(4－y)＋3＝0,即x－2y＋7＝0.答案：x－2y＋7＝01.下列各组方程表示相同曲线的是()A.y＝x与y＝x2B.y＝x2与y＝|x|C.(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0D.y＝x2与y＝|x|解析：选D.A中y＝x表示直线,y＝x2＝|x|表示两条射线；B中y＝x2表示抛物线,y＝|x|表示两条射线；C中前者表示一个点,后者表示两条直线x＝1和y＝－2.故选D.2.到坐标原点的距离是到x轴距离2倍的点的轨迹方程是()A.y＝±3xB.y＝33xC.x2－3y2＝1D.x2－3y2＝0解析：选D.设点的坐标为(x,y),则x2＋y2＝2|y|,整理得x2－3y2＝0.3.方程y＝－3－x2表示的曲线是()A.一个圆B.一条射线C.半个圆D.一条直线解析：选C.由y＝－3－x2可知y≤0,方程可化为x2＋y2＝3(y≤0),故表示的曲线是半圆.4.动点P(x,y)到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离的比等于2即|PA||PB|＝2,求动点P的轨迹方程.解：因为|PA|＝（x＋3）2＋y2,|PB|＝（x－3）2＋y2,所以|PA||PB|＝（x＋3）2＋y2（x－3）2＋y2＝2,即(x＋3)2＋y2＝4(x－3)2＋4y2,化简得(x－5)2＋y2＝16,故动点P的轨迹方程为(x－5)2＋y2＝16.