2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明单元质量测评课件 新人教A版选修2-2

第二章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.下列几种推理是演绎推理的是()A.在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1＋1an－1(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式B.某校高三共有12个班，其中(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级的人数都超过50人C.由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质D.两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A和∠B是两条直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝π解析A，B是归纳推理，C是类比推理.解析答案D答案2.下面四个推理不是合情推理的是()A.由圆的性质类比推出球的有关性质B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C.某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的答案C答案解析逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理.解析3.若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a20，那么这个演绎推理出错在()A.大前提B．小前提C.推理形式D．没有出错解析任何实数的平方都大于等于0，故大前提错.解析答案A答案4.下列推理是归纳推理的是()A.A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a|AB|，得P的轨迹为椭圆B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案B答案解析归纳推理的特点为由特殊到一般，A为演绎推理，C，D为类比推理.解析5.已知x0，由不等式x＋1x≥2x·1x＝2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥33x2·x2·4x2＝3，…我们可以得出推广结论：x＋axn≥n＋1(n∈N*)，则a＝()A.2nB．n2C．3nD．nn答案D答案解析因为x＋1x≥2x·1x＝2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥33x2·x2·4x2＝3，…，由此猜想，x＋axn＝xn＋xn＋…＋xn＋nnxn≥n＋1，所以a＝nn.解析6.已知c1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是()A.abB．abC.a＝bD．a，b大小不定答案B答案解析∵a＝c＋1－c＝1c＋1＋c，b＝c－c－1＝1c＋c－1，而c＋1＋cc＋c－1，∴ab.解析7.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A.f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)答案D答案解析由已知式子观察可得：原函数为偶函数，则它的导函数为奇函数，定义在R上的f(x)满足f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，∴g(x)＝f′(x)为奇函数，∴g(－x)＋g(x)＝0，故选D.解析8.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝2(1n＋2＋1n＋4＋…＋12n)时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．()A.k＋1B．k＋2C．2k＋2D．2(k＋2)答案B答案解析根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n＝k＋2.解析答案A答案9.若a0，b0，则p＝(ab)与q＝ab·ba的大小关系是()A.p≥qB．p≤qC．pqD．pqa＋b2解析pq＝aba＋b2abba＝aa＋b2－b·ba＋b2－a＝aa-b2·bb-a2＝aba-b2，若ab，则ab1，a－b0，∴pq1；若0ab，则0ab1，a－b0，∴pq1；若a＝b，则pq＝1，∴p≥q.解析10.记集合T＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M＝a110＋a2102＋a3103＋a4104ai∈T，i＝1，2，3，4，将M中的元素按从大到小排列，则第2019个数是()A.710＋9102＋8103＋1104B.510＋5102＋7103＋2104C.510＋5102＋7103＋3104D.710＋9102＋9103＋1104答案A答案解析因为a110＋a2102＋a3103＋a4104＝1104(a1×103＋a2×102＋a3×101＋a4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9999，从大到小排列，第2019个数为9999－2019＋1＝7981，所以a1＝7，a2＝9，a3＝8，a4＝1.解析11.不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数()A.成等比数列而非等差数列B.成等差数列而非等比数列C.既成等差数列又成等比数列D.既非等差数列又非等比数列答案B答案解析由已知条件得a＋c＝2b，①x2＝ab，②y2＝bc，③由②③得a＝x2b，c＝y2b，代入①得，x2b＋y2b＝2b，即x2＋y2＝2b2，∴x2，b2，y2成等差数列.解析12.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x)＝－f(x)，称f(x)为“局部奇函数”，若f(x)＝4x－m·2x＋1＋m2－3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是()A.1－3≤m≤1＋3B．1－3≤m≤22C.－22≤m≤22D．－22≤m≤1－3答案B答案解析根据“局部奇函数”的定义可知，f(－x)＝－f(x)有解，即f(－x)＝4－x－m·2－x＋1＋m2－3＝－(4x－m·2x＋1＋m2－3)，∴4x＋4－x－2m(2x＋2－x)＋2m2－6＝0，∴(2x＋2－x)2－2m(2x＋2－x)＋2m2－8＝0有解，设t＝2x＋2－x，则t≥2，∴t2－2mt＋2m2－8＝0在t≥2时有解，设g(t)＝t2－2mt＋2m2－8.(1)当m≥2时，Δ＝4m2－4(2m2－8)≥0，∴m2≤8，∴2≤m≤22.解析(2)当m2时，g2≤0，Δ≥0，即1－3≤m≤1＋3，－22≤m≤22，∴1－3≤m2.综上，1－3≤m≤22.解析第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知x，y∈R，且x＋y2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________.答案x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)答案解析“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”.解析14.四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，四边形ABCD满足条件________时，VP－AOB恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可).答案四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形或AB∥CD答案解析设h为P到面ABCD的距离，VP－AOB＝13S△AOB·h，又S△AOB＝12|AB|·d(d为O到AB的距离)．∵h，|AB|为定值，∴VP－AOB恒为定值时，d为定值．∴当四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形或AB∥CD时满足条件.解析15.已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆类似的性质为________.答案经过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1答案解析圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为：过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1.解析16．如图，如果一个凸多面体是n(n∈N)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝________.(答案用数字或n的解析式表示)答案nn＋1212nn－1n－22答案解析所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋nn－32＝nn＋12.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋nn－32(n－2)＝nn－1n－22.解析三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b0，则lga＋b2≥lga＋lgb2.(2)6＋1023＋2.证明(1)当a，b0时，有a＋b2≥ab，所以lga＋b2≥lgab，所以lga＋b2≥12lgab＝lga＋lgb2.(2)要证6＋1023＋2，只要证(6＋10)2(23＋2)2，即证260248，这是显然成立的，所以原不等式成立.答案18.(本小题满分12分)已知△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，证明：B为锐角.证明要证明B为锐角，只需证cosB0.又因为cosB＝a2＋c2－b22ac，所以只需证明a2＋c2－b20，即a2＋c2b2.因为a2＋c2≥2ac，所以只需证明2acb2.由已知，得2b＝1a＋1c，即2ac＝b(a＋c).所以只需证明b(a＋c)b2，即只需证明a＋cb.而已知a，b，c为△ABC的三边，即a＋cb成立，所以B为锐角.答案19．(本小题满分12分)如图，已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边分别于A′，B′，C′，则OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”.OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝S△OBCS△ABC＋S△OCAS△ABC＋S△OABS△ABC＝S△ABCS△ABC＝1.请运用类比思想，对于空间中的四面体V－BCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明.解在四面体V－BCD中，任取一点O，连接VO，DO，BO，CO并延长分别交四个面于E，F，G，H点，则OEVE＋OFDF＋OGBG＋OHCH＝1.答案证明：在四面体O－BCD与V－BCD中，设底面BCD上的高分别为h1，h，则OEVE＝h1h＝13S△BCD·h113S△BCD·h＝VO－BCDVV－BCD.同理有：OFDF＝VO－VBCVD－VBC；OGBG＝VO－VCDVB－VCD；OHCH＝VO－VBDVC－VBD.所以OEVE＋OFDF＋OGBG＋OHCH答案＝VO－BCD＋VO－VBC＋VO－VCD＋VO－VBDVV－BCD＝VV－BCDVV－BCD＝1.答案20.(本小题满分12分)已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.(1)求证：|c|≤1；(2)当－1≤x≤1，求证：－2≤g(x)≤2.证明(1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件，所以|f(0)|≤1.而f(0)＝c，所以|c|≤1.(2)当a0时，g(x)在[－1,1]上是增函数，所以g(－1)≤g(x)≤g(1).又g(1)＝a＋b＝f(1)－c，g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c，所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1，所以2≥－f(－1)＋c≥－2，－2≤f(1)－c≤2，答案所以－2≤g(x)≤2.当a0时，可用类似的方法，证得－2≤g(x)≤2.当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，g(x)＝f(