（全国通用）2020版高考数学二轮复习 专题提分教程 第二编 专题一 函数与导数 第2讲 导数及其应

第2讲导数及其应用第二编讲专题专题一函数与导数「考情研析」1.导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点．2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.1核心知识回顾PARTONE1.导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即k＝．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为．□01x＝x0处的导数f′(x0)□02f′(x0)□03y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)2．函数的单调性(1)在某个区间(a，b)内，如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内．(2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：①确定函数；②求；③在函数f(x)的定义域内；④根据③的结果确定函数f(x)的．□01f′(x)＞0(f′(x)0)□02单调递增(单调递减)□03f(x)的定义域□04导数f′(x)□05解不等式f′(x)0或f′(x)0□06单调区间3．导数与极值函数f(x)在x0处的导数且f′(x)在x0附近“”⇔f(x)在x0处取得；函数f(x)在x0处的导数且f′(x)在x0附近“”⇔f(x)在x0处取得．□01f′(x0)＝0□02左正右负□03极大值□04f′(x0)＝0□05左负右正□06极小值4．求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤(1)求函数y＝f(x)在[a，b]内的；(2)比较函数y＝f(x)的与的函数值，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．□01极值□02各极值□03端点处□04f(a)，f(b)的大小2热点考向探究PARTTWO考向1导数的几何意义例1(1)(2019·唐山市高三第二次模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x，x≤0，－x2＋ax，x＞0为奇函数，则f(x)在x＝2处的切线斜率等于()A．6B．－2C．－6D．－8解析设x0，则－x0，f(－x)＝x2－2x，又f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，则f′(2)＝－2，故选B.答案B(2)设直线y＝12x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为()A．ln2－1B．ln2－2C．2ln2－1D．2ln2－2解析设切点坐标为(x0，lnx0)，则1x0＝12，即x0＝2，∴切点坐标为(2，ln2)，又切点在直线y＝12x＋b上，∴ln2＝1＋b，即b＝ln2－1.答案A(3)已知曲线y＝13x3＋43，则曲线在点P(2,4)处的切线方程为_____________；曲线过点P(2,4)的切线方程为__________________________．解析①∵P(2,4)在曲线y＝13x3＋43上，y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.答案4x－y－4＝04x－y－4＝0或x－y＋2＝0②设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.函数在某点的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率，这是导数的几何意义，所以与导数有关的问题常涉及求导数、求斜率、求切点坐标、求切线方程、求参数值等．注意切点既在原函数的图象上又在切线上这一条件的应用．1．(2019·南阳市六校高二下学期第一次联考)曲线y＝ex上的点到直线y＝x－2的最短距离是()A.2B．2C．322D．1答案C解析设与y＝x－2平行的直线与y＝ex相切，则切线斜率k＝1.∵y＝ex，∴y′＝ex，由y′＝ex＝1得x＝0，当x＝0时，y＝e0＝1，即切点坐标为(0,1)，则点(0,1)到直线y＝x－2的距离是曲线y＝ex上的点到直线y＝x－2的最短距离，∵点(0,1)到直线的距离为d＝|0－1－2|12＋－12＝322，∴曲线y＝ex上的点到直线l：y＝x－2的距离的最小值为322，故选C.2．若点P是函数f(x)＝x2－lnx上任意一点，则P到直线x－y－2＝0的最小距离为()A.22B．2C．12D．3答案B解析由f′(x)＝2x－1x＝1得x＝1(负值舍去)，故曲线f(x)＝x2－lnx上切线斜率为1的切点是(1,1)，所以点P到直线x－y－2＝0的最小距离为|1－1－2|2＝2，故选B.3．(2019·山西大学附属中学高二下学期模块诊断)函数f(x)＝ax2＋sinx的图象在x＝π2处的切线方程为y＝x＋b，则b的值为()A．1＋π4B．1－π4C．1＋4πD．1－4π答案B解析∵f(x)＝ax2＋sinx，∴f′(x)＝2ax＋cosx.由题意，得f′π2＝2a×π2＋cosπ2＝aπ＝1，解得a＝1π，∴f(x)＝1πx2＋sinx.∴当x＝π2时，fπ2＝1π×π22＋sinπ2＝π4＋1，故切点坐标为π2，π4＋1，将切点坐标代入切线方程得π4＋1＝π2＋b，解得b＝1－π4.故选B.考向2利用导数研究函数的单调性例2(1)已知函数f(x)＝x2－5x＋2lnx，则函数f(x)的单调递增区间是()A.0，12和(1，＋∞)B．(0,1)和(2，＋∞)C.0，12和(2，＋∞)D．(1,2)答案C解析函数f(x)＝x2－5x＋2lnx的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋2x＝2x2－5x＋2x＝x－22x－1x＞0，解得0＜x＜12或x＞2，故函数f(x)的单调递增区间是0，12和(2，＋∞)．(2)(2019·山西大学附属中学高二下学期3月模块诊断)已知函数f(x)＝lnxx，则f(x)的单调递增区间为()A．(0,1)B．(0，e)C．(1，＋∞)D．(e，＋∞)答案B解析∵f(x)＝lnxx(x0)，∴f′(x)＝1－lnxx2.由f′(x)＝1－lnxx20，得lnx1，解得0xe.∴函数f(x)的单调递增区间为(0，e)．故选B.(3)若函数f(x)＝x2＋1＋ax2x在13，＋∞上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案253，＋∞解析由已知得，f′(x)＝2x＋a－1x2，若函数f(x)在13，＋∞上是增函数，则当x∈13，＋∞时，2x＋a－1x2≥0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立，即a≥1x2－2xmax，设u(x)＝1x2－2x，则u′(x)＝－2x3－2＜0，即函数u(x)在13，＋∞上单调递减，所以当x＝13时，函数u(x)取得最大值u13＝253，所以a≥253.故实数a的取值范围是253，＋∞.(1)大多数试题中确定函数的单调性需要分类讨论，讨论的标准是导数的零点在定义域内的分布情况，根据导数的零点把定义域划分为若干区间，在各个区间上确定导数值的符号．(2)研究函数单调性时要注意函数的定义域，要从函数本身确定函数定义域，不要求导后从导数上确定函数的定义域．1．函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)解析由题意知，f′(x)＝ex－e，令f′(x)＞0，解得x＞1，故选D.答案D2．(2019·新疆乌鲁木齐高三第二次质量检测)f(x)的定义域是(0，＋∞)，其导函数为f′(x)，若f′(x)－fxx＝1－lnx，且f(e)＝e2(其中e是自然对数的底数)，则()A．f(2)2f(1)B．4f(3)3f(4)C．当x0时，f(x)0D．当x0时，f(x)－ex≤0答案D解析设h(x)＝fxx，则h′(x)＝f′xx－fxx2＝1xf′x－fxx＝1x－lnxx，则h(x)＝lnx－12(lnx)2＋c(c为常数)，又f(e)＝e2得h(e)＝fee＝lne－12(lne)2＋c＝e，即1－12＋c＝e，∴c＝e－12，即h(x)＝lnx－12(lnx)2＋e－12，∵h′(x)＝1x－lnxx＝1－lnxx，x0，∴由h′(x)0得1－lnx0，得0xe，此时函数h(x)为增函数．由h′(x)0得1－lnx0，得xe，此时函数h(x)为减函数．则h(2)h(1)，即f22f11，则f(2)2f(1)，故A错误．h(3)h(4)，即f33f44，则4f(3)3f(4)，故B错误．由h(x)的表达式可得，当x→＋∞时，h(x)→－∞，而h(x)＝fxx，故当x0时，f(x)0不成立，故C错误．由h(x)的单调性可知，当x0时，h(x)≤h(e)，即fxx≤h(e)＝e，故f(x)－ex≤0.故选D.3．设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax.若f(x)在23，＋∞上存在单调增区间，则a的取值范围为________．答案a＞－19解析由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－x－122＋14＋2a，当x∈23，＋∞时，f′(x)的最大值为f′23＝29＋2a；令29＋2a＞0，得a＞－19，所以，当a＞－19时，f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间．考向3利用导数研究函数的极值、最值例3(1)(2019·鞍山一中高三三模)已知函数f(x)＝xex－13ax3－12ax2有三个极值点，则a的取值范围是()A．(0，e)B．0，1eC．(e，＋∞)D．1e，＋∞答案C解析由题意，函数的导数f′(x)＝ex＋xex－ax2－ax，若函数f(x)＝xex－13ax3－12ax2有三个极值点，等价于f′(x)＝ex＋xex－ax2－ax＝0有三个不同的实根．(1＋x)ex－ax(x＋1)＝0，即(x＋1)(ex－ax)＝0，则x＝－1，所以ex－ax＝0有两个不等于－1的根，则a＝exx.设h(x)＝exx，则h′(x)＝exx－exx2＝exx－1x2，则由h′(x)0得x＞1，由h′(x)0得x1且x≠0，则当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝e，当x0时，h(x)＜0，作出函数h(x)＝exx的图象如图．要使a＝exx有两个不同的根，则满足a＞e，即实数a的取值范围是(e，＋∞)．故选C.(2)已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为()A．[－3，＋∞)B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3)D．(－∞，－3]答案D解析由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，所以k≤－3.(3)已知函数f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数，x＝12是f(x)的一个极值点．①求a的值；②当b12时，求函数f(x)在[b，＋∞)上的最小值．解f′(x)＝ax2－2ax＋1ex1＋ax22.①因为x＝12是函数y＝f(x)的一个极值点，所以f′12＝0，