江苏省海安中学2020届高三数学上学期阶段测试试题三（含解析）

1江苏省海安中学2020届高三数学上学期阶段测试试题三（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．设全集{1U，2，3，4，5}，若{1UAð，2，4}，则集合A．解：全集{1U，2，3，4，5}，若{1UAð，2，4}，则集合{3A，5}．故答案为：{3，5}．2．已知复数z满足(2)1(ziii为虚数单位），则z的模为．解：复数z满足(2)1(ziii为虚数单位），21()(1)22iiizii213ii，||9110z，故答案为：10．3．已知一组数据123,,,naaaa的平均数为a，极差为d，方差为2S，则数据12+1a，22+1a，32+1a，2+1na的方差为_____.故答案为：24S4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为．解：模拟执行伪代码，可得：111111111100(1)()()11223101122310111111S．2故答案为：1011．5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为．解：从0、2中选一个数字0，则0不只能排在百位，从1、3、5中选两个数字之一排在百位，共有122312AA种；从0、2中选一个数字2，从1、3、5中选两个数字全排列，共有233318CA种；故共有121830种．故答案为：30．6．在平面直角坐标系xoy中，若双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为10，则双曲线C的渐近线方程为．解：因为22()1()10cbaa，所以3ba，所以渐近线方程为3yx．故答案为：3yx．7．将函数()fx的图象向右平移6个单位后得到函数4sin(2)3yx的图象，则()4f的值为．解：由将函数()fx的图象向右平移6个单位后得到函数4sin(2)3yx的图象，可得把函数4sin(2)3yx的图象向左平移6个单位后得函数()fx的图象，故()4sin(2)4sin233fxxx，则()4sin442f，故答案为：4．8．设定义在R上的奇函数()fx在区间[0，)上是单调减函数，且2(3)fxxf（2）0，则实数x的取值范围是．解：根据题意，()fx是在R上的奇函数()fx，且在区间[0，)上是单调减函数，则其在区间(,0])上递减，则函数()fx在R上为减函数，2(3)fxxf（2）20(3)fxxf（2）22(3)(2)32fxxfxx，解可得：12x；即实数x的取值范围是(1,2)；3故答案为：(1,2)．9．在锐角三角形ABC中，3sin5A，1tan()3AB，则3tanC的值为．解：锐角三角形ABC中，3sin5A，1tan()3AB，AB，24cos1sin5AA，sin3tancos4AAA．3tan1tantan4tan()331tantan1tan4BABABABB，13tan9B．则tantan3tan3tan()3791tantanABCABAB，故答案为：79．10．设nS为数列{}na的前n项和，若*3(1)()nnSnannnN，且211a，则20S的值为．解：由2122232(21)Saaa，211a，可得15a．解法1：当2n…时，由1nnnaSS，得13(1)[(1)3(1)(2)]nnnanannnann，1(1)(1)6(1)nnnanan，即*16(2,)nnaannN…，数列{}na是首项15a，公差为6的等差数列，202019205612402S．解法2：当2n…时，由13(1)()3(1)nnnnSnannnSSnn，可得1(1)3(1)nnnSnSnn，131nnSSnn，数列{}nSn是首项151S，公差为3的等差数列，2053196220S，201240S．11.设正实数x，y满足xyxyxy，则实数x的最小值为．解：由正实数x，y满足xyxyxy，4化为22(1)0xyxyx，22221212(1)401010xxxyyxyy…，化为426101xxx…，解得21x…．因此实数x的最小值为21．故答案为：21．12．如图，正四棱柱1111ABCDABCD的体积为27，点E，F分别为棱1BB，1CC上的点（异于端点），且//EFBC，则四棱锥1AAEFD的体积为．解：连接DE，正四棱柱1111ABCDABCD的体积为27，点E，F分别为棱1BB，1CC上的点（异于端点），且//EFBC，11AAEDAFEDVV，11113AAEDEAADAADVVSAB111111119662AADDABCDACDSABV，四棱锥1AAEFD的体积19AAEFDV．故答案为：9．13．已知向量a，b，c满足0abc，且a与b的夹角的正切为12，b与c的夹角的正切为13，||2b，则ac的值为．5解：可设ABa，BCb，CAc，由题意可得1tan2B，1tan3C，则11tantan23tantan()1111tantan123BCABCBC，即为135A，又B，C为锐角，22sincos1BB，sin1cos2BB，可得5sin5B，同理可得10sin10C，由正弦定理可得2||||sin135510510ca，即有210||5c，25||5a，则2102524||||cos455525acca．故答案为：45．14．已知()(2)(3)fxmxmxm，()22xgx，若同时满足条件：①xR，()0fx或()0gx；②(,4)x，()()0fxgx．则m的取值范围是．解：对于①()22xgx，当1x时，()0gx，又①xR，()0fx或()0gx()(2)(3)0fxmxmxm在1x…时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在(1,0)的左面6则03121mmm40m即①成立的范围为40m又②(,4)x，()()0fxgx此时()220xgx恒成立()(2)(3)0fxmxmxm在(,4)x有成立的可能，则只要4比1x，2x中的较小的根大即可，()i当10m时，较小的根为3m，34m不成立，()ii当1m时，两个根同为24，不成立，()iii当41m时，较小的根为2m，24m即2m成立．综上可得①②成立时42m．故答案为：(4,2)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（本小题满分14分）已知ABC的面积为93，且()18ACABCB，向量(tantan,sin2)mABC和向量(1,coscos)nAB是共线向量．（1）求角C；（2）求ABC的边长c．解：（1）//mn，(tantan)coscossin2ABABC，即sincoscossinsin2ABABC，sin()sin2ABC，sin2sincosCCCsin0C，1cos2C，7(0,)C3C（2）由()18ACABCB得：2()18ACABBCAC，11332sin3293222bSabCa，62a，2222cos54cababC，36c16．（本小题满分14分）如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，且2AB，1BC，E，F分别为AB，PC中点．（1）求证：//EF平面PAD；（2）若平面PAC平面ABCD，求证：平面PAC平面PDE．证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连接FM，AM．因为F为PC的中点，所以//FMCD，且12FMCD．因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以//EACD，且12EACD．所以//FMEA，且FMEA．所以四边形AEFM为平行四边形．所以//EFAM．又AM平面PAD，EF平面PAD，所以//EF平面PAD．方法二：连接CE并延长交DA的延长线于N，连接PN．因为四边形ABCD为矩形，所以//ADBC，所以BCEANE，CBENAE．8又AEEB，所以CEBNEA．所以CENE．又F为PC的中点，所以//EFNP．（5分）又NP平面PAD，EF平面PAD，所以//EF平面PAD．方法三：取CD的中点Q，连接FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AEDQ，且//AEDQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以//EQAD．又AD平面PAD，EQ平面PAD，所以//EQ平面PAD．因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以//FQPD．又PD平面PAD，FQ平面PAD，所以//FQ平面PAD．又FQ，EQ平面EQF，FQEQQ，所以平面//EQF平面PAD．因为EF平面EQF，所以//EF平面PAD．（2）设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为2ABBC，E为AB的中点．所以2DACDAEDA．又DAECDA，所以DAECDA∽，所以ADEDCA．又90ADECDEADC，所以90DCACDE．由DGC的内角和为180，得90DGC．即DEAC．因为平面PAC平面ABCD因为DE平面ABCD，所以DE平面PAC，又DE平面PDE，所以平面PAC平面PDE．17．（本小题满分14分）如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知tan3MON，6OAkm，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3km，6105km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．9（1）求水上旅游线AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成th时的半径为3(rata为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以182/kmh的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．解：（1）以点O为坐标原点，直线OM为x轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：(6,0)A，直线ON的方程为3yx，0(Qx，03)(0)x．由0|33|610510x，及00x得03x，(3,3)Q．直线AQ的方程为(6)yx，即60xy，由360yxxy得39xy即(3,9)B，22(36)992AB，即水上旅游线AB的长为92km．（2）设试验产生的强水波圆P，由题意可得(3,9)P，生成t小时时，游轮在线段AB上的点C处，则182ACt，102t剟，(618,18)Ctt．强水波不会波及游轮的航行即2210,2PCrt对恒成立．2222(183)(189)9PCttrat，当0t时，上式恒成立，当10,0,2tt时即时，101017248.7248,0,2atgttttt令，10()724824548gttt…，当且仅当51(0,]62t时等号成立，所以，在024548a时rPC恒成立，