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选修2-1第三章(12课时)本章所需主要预备知识:(1)必修2中的空间几何体(立体几何初步知识)(2)必修4中的平面向量本章知识结构空间向量的定义用空间向量表示点、直线、平面等元素空间向量运算的几何意义空间向量运算的坐标表示建立空间图形与空间向量在联系空间向量的应用空间向量的运算线性运算和数量积运算空间向量及其运算知识结构实际背景线性运算数量积坐标表示基本定理空间向量的概念简单应用立体几何中的向量方法知识结构点、直线、平面的位置的向量表示直线、平面间的平行与垂直关系的向量表示立体几何中向量方法的三步曲直线的方向向量与平面的法向量向量方法与坐标方法结合解决立体几何问题直线、平面间角的大小的向量表示第一步:向量表示;第二步:向量运算;第三步:回归几何.地位与作用1.本章是必修数学4“平面向量”在空间的推广,又是必修数学2“立体几何初步”的延续.2.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究,本章则侧重于定量研究).3.进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用.本章的基本思想本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想.根据问题的特点,以适当的方式(例如构建向量、建立空间直角坐标系)用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素,建立起空间图形与空间向量的联系;然后通过空间向量的运算,研究相应元素之间的关系(平行、垂直、角和距离等);最后对运算结果的几何意义作出解释,从而解决立体几何的问题.教科书还通过例题,引导学生对解决立体几何问题的二种方法(向量方法、坐标法)进行比较,分析各自的优势,因题而宜作出适当的选择,从而提高综合运用数学知识解决问题的能力.形数形⇒⇒蕴涵了“符号化”和“模型化”思想(即用抽象符号把一类对象转化为其他等价形式);“运算化”和“程序化”思想(即通过对量化后的对象进行特定运算来解决问题).与原大纲教材的比较大纲教材新教材重点立体几何知识空间向量和向量方法空间向量知识对空间向量只是作为解决部分问题的工具强调对向量方法的一般性认识立体几何知识有系统性要求不作系统性要求与九B教材有明显的区别内容《课程标准》目标表述《教学大纲》目标表述空间向量及其运算(1)经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.(2)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(3)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(4)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.(1)理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘.(2)了解空间向量的基本定理;理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算.(3)掌握空间向量的数量积的定义及其性质;掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌握空间两点间距离公式.课程标准要求与教学大纲比较课程标准要求与教学大纲比较空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量.②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)(参见《标准》P55~56例1、例2、例3).④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用.(1)理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念.(2)掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念(对于异面直线的距离,只要求会利用给出的公垂线计算距离);掌握直线和平面垂直的性质定理;掌握两个平面平行的判定定理和性质定理;掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.(3)了解多面体的概念,了解凸多面体的概念.(4)了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图.(5)了解棱锥的概念,掌握正棱锥的性质,会画正棱锥的直观图.(6)了解正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式(7)了解球的概念,掌握球的性质,掌握球的表面积、体积公式.(8)通过空间图形的各种位置关系间的教学,培养空间想象能力,发展逻辑思维能力,并培养辩证唯物主义观点.内容《课程标准》目标表述《教学大纲》目标表述把握图形的能力空间想象能力推理能力几何直觉能力培养和发展学生提升几何直观的思想方法,突出用代数方法解决几何问题的过程,强调代数关系的几何意义.几何课程的定位遵循整体到局部、具体到抽象的原则,通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法,认识和探索空间几何图形及其性质.教学重点是:①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,使学生了解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示法和字母表示法,掌握空间向量的加减运算及其运算律.②掌握空间向量数乘运算的定义和运算律,了解共线(平行)向量、共面向量的意义,掌握它们的表示方法,并能理解共线向量定理(不要求学生会证明此定理)和共面向量定理及其推论并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题.③了解两个向量的数量积(或称内积、点积)的计算方法及其应用.④了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,并会在简单问题中选用空间三个不同向量作为基底表示其它向量.⑤掌握空间向量的坐标运算规律,理解直线的方向向量与平面的法向量,理解平行、共线向量坐标间的关系式,会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直,掌握向量长度公式、两向量的夹角公式、空间两点间的距离公式,并会用这些知识解决解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及简单立体几何问题.⑥理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法,体会向量方法在研究几何问题中的作用.重点与难点重点与难点教学的难点是:①空间向量的基本定理②如何将立体几何问题转化为向量的计算问题本章在3.1节“空间向量及其运算”之后安排了一个“阅读与思考:向量概念的推广与应用”,介绍了三维以上的高维向量,并通过例子说明高维向量的应用.它可供学有余力的学生学习.阅读与思考课时分配(12课时)3.1.1空间向量及其加减运算1课时3.1.2空间向量的数乘运算1课时3.1.3空间向量的数量积运算1课时3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1课时3.1.5空间向量运算的坐标表示1课时复习小结1课时3.2立体几何中的向量方法5课时复习小结1课时教学建议:1.注重联系本章从数量表示和几何意义两方面,把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形.这是“由此及彼,由浅入深”的认识发展过程.2.体现思想本章以立体几何问题为载体,体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理,再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想.主要要思想方法是:(1)类比、猜想、归纳、推广(让学生经历由平面向空间推广的过程);(2)能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题.3.温故知新空间向量的基本概念及其性质是后续学习的前提,由于空间向量是平面向量的推广,空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算类似,所以,空间向量的教学上要注重知识间的联系,温故而知新,运用类比的方法认识新问题,经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.教学建议:4.强调通法向量法有别于传统的纯几何方法,而是将几何元素用向量表示,进行向量运算,再回归到几何问题.这种“三步曲”式的解决问题过程,在数学中具有一般性.三步曲:空间向量表示几何元素→利用向量运算研究几何元素间的关系→把运算结果翻译成相应的几何意义.向量运算时注意其几何意义,联系几何问题(如三垂线定理及其逆定理等)加深对有关运算的认识.教学建议:第一步:向量表示;第二步:向量运算;第三步:回归几何.5.螺旋上升必修2中,已经讨论过空间中直线、平面的平行、垂直等位置关系,当时没有对相关判定定理进行证明,只证明了相关性质定理.本章以三垂线定理、线面垂直的判定定理等为例,用向量方法对其进行证明,然后指出运用向量方法可以证明关于线面位置关系的其他判定定理,并引导学生进行尝试.这样可以加强所学前后知识的联系,对空间位置关系提高认识水平.教学建议:内容解析•空间向量及其运算1.关于共面向量的定义——平行于同一平面的向量,叫做共面向量(coplanarvector):理解:能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。对共面向量的理解要突出“自由向量”的特征,向量与平面平行的概念有别于直线与平面的平行,要帮助学生理解.2.关于共面向量定理——如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在惟一的有序实数组(x,y),使p=xa+yb.•空间向量共面向量定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的,而且在本质上也是一致的.这是因为任意两个空间向量a,b都可以平移到同一个平面,当a,b不共线时,可以作为基向量,向量p与它们共面,也就是向量p也可以平移到这个平面,所以就能用a,b线性表示.3.关于空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使p=xa+yb+zc.•发展路线:共线向量定理(一维)→平面向量基本定理(二维)→空间向量基本定理(三维)。•通过向量分解惟一性定理的推广,引导学生积极主动地探索.•目的:为空间向量的坐标表示做准备.•注意:“惟一性”的证明要用反证法(了解).4.关于空间向量的数量积(1)由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量,所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和符号、两个空间向量的数量积等等,都与平面向量相同.(2)要正确使用两个向量夹角的符号〈a,b〉.(3)空间向量数量积的几何意义只要求学生了解.(4)空间向量数量积运算律的证明不作要求.
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