第一章变分法的基本问题

第一章变分法的基本问题主要内容：一、欧拉方程二、欧拉方程的推广路径值集合（实线）允许的路径集合（曲线）泛函的概念通常函数：从实数到实数的映射。泛函：从路径（曲线）到实数的映射。目标泛函的概念连续时间路径上识别一条弧，需要三样信息：无限小的一条弧（1）开始时间t（2）开始状态)(ty（3）弧的前进方向dtdyty/)(t)(ty)(ty存在某个函数F，将弧值赋予弧，即从无限小的弧(曲线)到弧值(实数)的影射，表示为：)]('),(,[tytytF目标泛函就是弧值之和：TdttytytFyV0)]('),(,[][例：垄断企业的利润函数垄断企业的动态需求函数：),(PPDQddsQQ),(PPDQs垄断企业的总收益函数：),(PPRPQR垄断企业的总成本函数：)],([)(PPDCQCC垄断企业的总利润函数：),()],([),(PPPPDCPPRCR加总T期的总利润函数，得到目标泛函：TdtPP0),(如果收益函数或成本函数随时间变化，目标泛函：TdtPPt0),,(第一节欧拉方程变分法的基本问题最大化或最小化),()()()0(..)](),(,[)(0给定给定ZTZTyAAytsdttytytFyVT一、欧拉方程的推导TdttptytptytFV0)]()('),()(,[)(**固定初始点和固定终结点，函数V表示为：0)()0(Tpp)(*ty)(tp)()()(*tptytyT0ytAZ)()()(*tptyty)()(')(*tptytydttytytFyVT)](),(,[)(0变为：一、欧拉方程的推导dttptytptytFdttytytFVTT)]()('),()(,[)](),(,[)(**00)(ty)(ty0)()(00TTyydttpFdttpFddV（2.14）步骤1首先用来表示V，并求导：)(*ty)(tp)()()(*tptytyytT我们得到极值曲线的必要条件的更具体的形式：莱布尼兹法则：badtxtFxI),()(TTdtdydyFddyyFdtFddV00)(dttpFtpFTyy0)()(baxdtxtFdxxI),()(对于函数步骤2dtdtdFdtdtdvdvydttpdtdtdudu)(和令yFv和。于是我们得到：)(tpu把这些表达式代入（2.15），其中a=0，b=T。我们得到：btatbtatbtatudvvuvdu（2.15）根据分部积分公式：0)()(00TTyydttpFdttpFddV以上推导得到：TyTyTydtFdtdtptpFdttpF000)()()(TydtFdtdtp0)(0)()(00TTyydtFdtdtpdttpFddV步骤3由于是任意的，因此可以得到：)(tp欧拉方程yyFdtdF或对于所有],0[Tt)81.2(0yyFdtdF对于所有],0[Tt)18.2(以上推导得到：0)()(00TTyydtFdtdtpdttpFddV对推导得到的进行整理：ddV（2.17)0)(0dtFdtdFtpTyyTTyydtFdtdtpdttpFddV00)()()()(tyFtyFFdtydyFdtdyyFtFdtdFyyyyytyyyy步骤4因为F是一个具有三个自变量的函数，所以偏导数也是具有三个同样自变量的函数。),,(yytyF把它代入(2.18)式，即，得：0yyFdtdF0)]()([tyFtyFFFyyyyyty0yyFdtdF以上推导得到欧拉方程：欧拉方程的另一种形式)18.2(0)()(yytyyyyFFtyFtyF)19.2(dtyytyVT)()(20具有边界条件：1)1()0(yy例1求下列泛函的极值曲线。2yytF0yFytFy2yyFdtdF根据欧拉方程，可得：0yFdtd常数yF常数yt2121cty212*41ctcty根据直接积分，得,1)1()0(yy因为,14121cc和所以141412*tty因此，极值曲线为：一、多个状态变量的情况第二节欧拉方程的推广dtyyyytFyyVnnTn],,,,,,[,,1101当给定问题中具有个状态变量时，泛函变为：1n并且对于每个状态变量都有一对初始条件和终结条件。个变量的欧拉方程组为：n0jyyjFdtdF对于所有],0[Tt)27.2(),,2,1(nj这几个方程与边界条件一起,可以确定解)(,),(**1tytyn二、高阶导数的情况那么高阶导数泛函可以转化为多个状态变量的泛函:dtyyyytFyVnT],,,,,[)(0考虑一个含有的高阶导数的泛函，即：)(ty并且都有一对初始条件和终结条件,即共有个边界条件。)1(,,,,nyyyyn2可以转化为含有个状态变量及其一阶导数的一个等价函数：n1)1(21,,,nnxyxyxy设dtxxxytFxxyVnnTn],,,,,[,,,111011一、社会损失函数第三节应用——通货膨胀和失业之间的折衷与的关系用附加预期的菲利普斯曲线来表示：YYfp)0()(YYpf)40.2(其中，表示预期通货膨胀率。其中，为实际收入，为理想实际收入，为实际通货膨胀率。YfYp)0()(22pYYf社会损失函数为：)39.2(预期通胀率的形成被假定为自适应的：)10()()(jpjdtd)41.2(由（2.40)式和(2.41)式，得：)(YYjf重新整理，得：jYYf)()42.2(（2.42)式代入(2.40)式，得：)(jp)43.2(（2.42)和(2.43)式代入(2.39)式，得社会损失函数：22)()(),(jj)44.2(二、问题三、解路径满足0)0(Ttdte0),(政策制定者的目标：最小化和0)(T)(给定TteF),(被积函数为：F的一阶导数：tejjF)1(2222tejF)(2二阶导数：tejF)1(2222tejF2ttejjF)1(2222公式（2.19）给出了具体的必要条件：0其中01)(22jj由于这个方程是齐次的，它的通解为：trtreAeAt2211*)([通解]其中421,221rr并且可知，0021rr和设和，并利用边界条件得：0tTt021AA02211TrTreAeA解这两个方程，得：trtrtreeeA21201trtrtreeeA211020,00,02121AArr[欧拉方程]二阶常系数非齐次线性微分方程一般形式为()(9.41)y''ay'byfx其中a,b为已知常数,f(x)为已知函数.称f(x)为方程(9.41)的非齐次项.方程(9.41)的对应齐次方程为0(9.42)y''ay'by附录：二阶常系数齐次线性方程的通解设方程(9.42)有特解y=eλx,其中λ为待定常数.将2e,e,exxxyy'y''代入方程(9.42),得(λ+aλ+b)eλx=0由于eλx≠0,故由上式得λ2+aλ+b=0(9.43)称代数方程(9.43)为方程(9.42)或(9.41)的特征方程,特征方程(9.43)的解称为特征根或特征值.0(9.42)y''ay'by显然,函数y=eλx是方程(9.42)的解的充分必要条件是,常数λ为特征方程(9.43)的解,即λ为特征根.由上述分析可知,求方程(9.42)特解的问题转化为求特征方程(9.43)的根的问题.因特征方程(9.43)是λ的二次代数方程,故可能有两个根,记为λ1,λ2.下面根据判别式△=a2－4b=0(9.44)的三种不同情况,分别进行讨论.λ2+aλ+b=0(9.43)(1)△0时,特征根为相异实根:121(),()(9.45)2aa这时齐次方程(9.42)有两个特解1212e,exxyy因12()12eexxyy常数故特解y1和y2线性无关.因此,方程(9.42)的通解为1212()e+e(9.46)xxccyyxCC其中λ1,λ2由式(9.45)确定,C1,C2为任意实数.(2)△=0时,特征根为重根:λ=λ1=λ2=－a/2(9.47)因此,(9.42)有一个特解,y1=eλx.直接验证可知,y2=xeλx是(9.42)的另一特解.因y1/y2=1/x≠常数,故y1与y2线性无关.因此,方程(9.42)的通解为1212ee()e(9.48)xxxcyCCxCCx其中λ=－a/2,C1,C2为任意常数.(3)△0时,特征根为共轭复根:12,ii/2,/2(9.49)a其中为虚数单位.1i直接验证可知,函数12ecos,esinxxyxyx是方程(9.42)的两个线性无关的特解.因此,方程(9.42)的通解为12e(cossin)(9.50)axcyCxCx其中α,β由式(9.49)确定.C1,C2为任意实数.综上所述,求齐次方程(9.42)通解的步骤是:(1)写出特征方程(9.43);(2)求特征方程(9.43)的根;(3)由求出的特征根写出通解,见表9.1.表9.1特征方程特征根通解λ2+aλ+b=0相异实根λ1≠λ2重实根λ=－a/2共轭实根λ1,2=α±iβ1212eexxcyCC12()excyCCx12(cossin)ecxyCxCx例1求方程的通解.7100y''y'y解特征方程为λ2－7λ+10=(λ－2)(λ－5)=0故有两个相异的特征根λ1=2,λ2=5.因此,所给方程的通解为251212ee,(,)xxcyCCCC为任意常数例2求方程的通解.690y''y'y解特征方程为λ2+6λ+9=(λ+3)2=0故有重根λ=－3.因此,所求方程的通解为31212()e,(,)xcyCCxCC为任意常数例3求方程的通解.4130y''y'y解特征方程为λ2－4λ+13=(λ－2)2+9=0有一对共轭复根,λ1,2=2±3i.因此,所求方程的通解为212(cos3sin3)excyCxCx其中C1,C2为任意常数.