第七章二次曲线

第七章二次曲线第一节圆【知识梳理】1．圆的几何要素，掌握圆的定义及性质，学会其简单应用；2．在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；3．进一步体验用代数方法去解决几何问题的思想。【例题精析】[例1]（1）方程y=21x表示的曲线是()A．上半圆Ｂ．下半圆Ｃ．圆Ｄ．抛物线（2）方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1=0表示圆，则a的取值范围是（）A．（－∞，－2）∪（23，＋∞）B．（－23，0）C．（－2，0）D．（－2，23）（3）设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋（a－1）2=0，若0＜a＜1，则原点（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．与圆的位置关系不确定（4）过两点P（2，2），Q（4，2），且圆心在直线y=x上的圆的标准方程是____．（5）过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程是.[例2]如图，已知定点A(2，0)，点Q是圆221xy上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.[例3]设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程。[例4]平面内有两定点A（－1，0）、B（1，0），在圆（x－3)2＋(y－4)2=4上求一点P，使取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值．第二节直线与圆的位置关系【知识梳理】1．能根据给定直线、圆的方程，判定直线与圆、圆与圆的位置关系；2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3．进一步体会用代数方法处理几何问题的思想。【例题精析】[例1]（1）已知点P(1，2)和圆C：22220xykxyk，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是（）A.k∈RB.k＜233C.2303kD.232333k（2）设集合A={（x,y)|x2＋y2≤4},B={(x,y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)},当A∩B=B时，r的取值范围是（）A．（0，2－1）B.（0，1]C.（0，2－2]D.（0，2]（3）若实数x、y满足等式(x-2)２＋ｙ２＝３，那么yx的最大值为()A.12B.33C.32D.3（4）过点M3(3,)2且被圆2225xy截得弦长为8的直线的方程为_．（5）圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆22430xyx和22430xyy的交点的圆的方程是.[例2]若直线l：2x－y－1=0和圆C：x2＋y2－2y－1=0相交与A、B两点，求弦长∣AB∣.[例3]圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2=4,圆O2的圆心坐标为（2，1）．（1）若圆O1与圆O2相外切，求圆O2的方程；（2）若圆O1与圆O2相交于A、B两点，且∣AB∣=22，求圆O2的方程．[例4]已知点A(0，2)和圆C：2236(6)(4)5xy，一条光线从A点出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程.第三节椭圆及其性质【知识梳理】1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．2．了解椭圆简单应用．3．进一步体会数形结合思想．【例题精析】[例1]（1）到两定点（2，1），（－2，－2）的距离之和为定值5的点的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段（2）椭圆221xmy的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．14B．12C．2D．4（3）已知椭圆的焦点为1F（-1，0）和2F（1，0），P是椭圆上的一点，且12FF是1PF与2PF的等差中项，则该椭圆的方程为（）则该椭圆的方程为（）A．221169xyB．2211612xyC．22143xyD．22134xy（4）已知椭圆中心在原点，一个焦点是F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_．（5）12,FF分别是椭圆2214xy的左右焦点，AB为其过点2F且斜率为1的弦，则11FAFB的值为__．__．[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆的长轴的长是短轴的长的５倍，且经过点（10，-5）;（2）长轴与短轴之和为20，焦距为45[例3]椭圆C：2222xyab＝1（a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=43，|PF2|=143．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．[例4]已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且\s\up6(→(→)AC→·\s\up6(→(→)BC→=0，|BC|=2|AC|.(1)求椭圆方程；(2)如果椭圆上两点P、Q，使PCQ的平分线垂直AO，是否总存在实数，使\s\up6(→(→)PQ→=λ\s\up6(→(→)AB→？请给出说明．第四节双曲线及其性质【知识梳理】1．掌握双曲线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；2．了解双曲线简单应用；3．进一步体会数形结合思想。【例题精析】[例1]（1）已知方程22121xykk的图象是双曲线，那么k的取值范围是（）A．k＜1B．k＞2C．k＜1或k＞2D．1＜k＜２（2）双曲线2213yx的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角是（）A．060B．090C．0120D．0150（3）如果221||21xykk表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距C的取值范围是（）A．(1,＋∞)B．（0，2）C．(2,＋∞)D．（1，2）（4）双曲线22148xy的两条渐近线的夹角等于___．（5）经过点8(10,)3M，渐近线方程为13yx的双曲线的方程为__．[例2]在△ABC中，BC固定，顶点A移动．设|BC|=m，当三个角A,B,C有满足条件|sinC－sinB|=12sinA时，求顶点A的轨迹方程．[例3]已知双曲线C:22221xyab(0,0)ab，B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上，且满足OAOBOF||、||、||成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P．（1）求证：PAOPPAFP；（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求ac的取值范围．[例4]已知动点P与双曲线x2－y2=1的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为13。（1）求动点P的轨迹方程;（2）设M（0,－1），若斜率为k(k≠0)的直线与P的轨迹交于不同的两点A、B，试求k的取值范围，使|MA|=|MB|；（3）若直线l:y=x+m与P的轨迹交于不同的两点A、B，且3AB，M（0，－1），求M到直线l的距离.第五节抛物线及其性质【知识梳理】1．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；2．了解抛物线简单应用；3．进一步体会数形结合思想。【例题精析】[例1、]（1）设0,aaR，则抛物线24yax的焦点坐标为（）A、(a,0)B.(0,a)C.(0,116a)D.随a的符号而定（2）顶点在原点，准线为y=2的抛物线方程为（）A．y2=8xB．y2=－8xC．x2=8yD．x2=－8y（3）已知：P为抛物线y＝214x上的任意一点，Ｆ为抛物线的焦点，点A坐标为(1,1)，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为（）A．1716B．2C．21D．21（4）已知抛物线y2=4x过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A（x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12＋y22的最小值是___________．（5）已知抛物线C1：y=2x2与抛物线C2关于直线y=-x对称，则C2的准线方程是__________.[例2]抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，5AF，求抛物线的标准方程．[例3]如图，抛物线22ypx的弦12PP交x轴于点Q，过12PP、分别作x轴的垂线，垂足为M、N，求证：OQ是OM和ON的比例中项．[例4]如图，M（a，0）（a＞0)是抛物线y2=4x对称轴上一点，过M作抛物线的弦AMB，交抛物线与A，B．（1）若a=2，求弦AB中点的轨迹方程；（2）过M作抛物线的另一条割线CMD（如图），与抛物线交于CD，若AD与y轴交与点E，连ME，BC，求证：ME∥BC．第六节轨迹方程【知识梳理】ABMECD1．巩固前期学习的曲线的定义与性质，熟悉圆锥曲线的定义；2．体会曲线与方程的对应关系；3．进一步感受数形结合的基本思想。【例题精析】[例1]（1）圆心在抛物线22yx（0y）上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是（）A．221204xyxyB．22210xyxyC．22210xyxyD．221204xyxy（2）已知两点M（1，54），N（－4，－54），给出下列曲线方程：①4x＋2y－1=0②223xy③22x＋y2=1在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程的代号是（）A．①③B．②C．①②③D．②③（3）条件A：曲线C上所有点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；条件B：以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上．则A与B关系是（）A．A是B的充分不必要条件B．A是B的必要不充分条件C．A是B的充要条件D．A既不是B的充分条件也不是B的必要条件（4）已知曲线C：xy＋2x－ky＋3=0经过点（－1，2），则k=．（5）点（m,n)在圆x2＋y2－2x＋4y=0外，则m，n满足的条件是．[例2]求到两不同定点距离之比为一常数λ（λ≠0）的动点的轨迹方程．[例3]已知三点A(-2-a,0)，P(-2-a，t)，F(a,0),其中a为大于零的常数，t为变数，平面内动点M满足PMAP=0，且∣PM∣=∣MF∣+2．（1）求动点M的轨迹；（2）若动点M的轨迹在x轴上方的部分与圆心在C(a+4,0)，半径为4的圆相交于两点S，T，求证：C落在以S、T为焦点过F的椭圆上．[例4]已知点P(-3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足30,2PAAMAMMQ（1）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；（2）设轨迹C的准线为l，焦点为F，过F作直线m交轨迹C于G，H两点，过点G作平行于轨迹C的对称轴的直线n，且nl=E，试问点E，O，H（O为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由．第七节直线与圆锥曲线【知识梳理】1．直线与圆锥曲线之间的位置关系及其判定方法；2．一元二次方程根的判别式及韦达定理的应用；3．中点问题，弦长问题的求解；4．进一步应用数形结合思想。【例题精析】[例1]（1）过点（2，4）作直线与抛物线28yx有且只有一个公共点，这样的直线有（）A.一条B.两条C.三条D.四条（2）直线1()ykxkR与椭圆2215xym恒有公共点，则m的取值范围是（）A.1,55,B.(0,5)C.1,D.(1,5)（3）设直线:220lxy关于原点对称的直线为l，若l与椭圆2214yx的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使PAB的面积为12的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．4（4）斜率为２的直线与圆锥曲线交于1122(,),(,)AxyBxy两点，若弦长25AB，则12yy__________．（5）双曲线122yx的左焦点为F，点P为左支下半支上的动点（异于顶点），则直线PF的斜率的范围是__________．[例2]在椭圆221164xy内，求通过点M(1,1)且被这点平分的弦AB所在直线的方程．[例3]P、Q、M、N四点都在椭圆2212yx上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且0PFMF．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．[例4]设抛物线2:Cyx的焦点为F，动点P在直线:20lxy上运动，过P作抛物线C