正方体框架的肥皂膜形状及其探究

正方体框架的肥皂膜形状及其探究液体表面张力的作用效果，使液体的表面积收缩最小．用正方体铁丝架拉出的肥皂膜并不是正立方六面体，而是如图1所示的肥皂膜形状，怎样从表面张力使表面积最小的结论，去解释这个现象呢？先介绍预备定理．①定理1：在三角形内一点与三个顶点的连线，若两两夹角为120°，那么该点与三个顶点所连线段之和最短．该点称为费马点．设P为ABC内一点，若120CPABPCAPB，那么CPBPAP最小．分析：连接PA、BP、CP，将ACP绕A点逆时针旋转60°到PCA处如图2所示，有APPACPPC,，又因60APP，故APP是正三角形，则有APPAPP，要使CPBPAP为最小，即需折线PBPC之长为最短，对C、B都是定点，因此点P、P在BC线段上时，折线最短．若60,120PAPPPACPABPCAPB，可知P、P在BC线段上，有CPBPAPCPPPBP最短．（证明略）②拓展：现在我们研究正方形的线段极值问题．如何使连接正方形四个顶点的线段距离之和为最短，连接的线段形状如何？常见错误解法：认为连接正方形的两对角线之和．是连接四个顶点线段之和的最小值，设正方形边长a，即四个顶点线段之和为：a22．正确解法：如图4所示，先连接正方形ABCD的对角线，交点为O，在AOB内确定极值的费马点1P，由前面预备定理可知120111BOPOAPBAP．同理可得DOC内的费马点2P．连接OPCPDPOPBPAP222111、、；、、线段，其线段之和222111CPDPPPBPAP为最短．因2211DPCPBPAP，33230tan23330cos12211aaaaPPaaAP则aaaaaCPDPPPBPAP22)31(33334222111．故正方形与四个顶点所连线段之和最小应为a)31(．a为正方形边长．正方形内有两个费马点所确定的连线情况如图4所示．这个结论恰是液体表面张力拉出正方体铁丝架肥皂膜的形状，从图1正方体的前面观察肥皂膜形状就是图4的情况．由于正方体前后肥皂膜的张力的作用，前、后膜都向内收缩．总之，表面张力使得液体总的表面积为最小．这就是正方体框架拉出肥皂膜形状的解释．③讨论：若我们用热针刺破正方体框架肥皂膜一处，如AA所连接的膜．由于表面张力的作用，就会拉成如图5肥皂膜的形状，即为三角形内有一极值费马点的情况，这也正是我们所预想的结果．