第1章_控制系统的状态空间描述

1教材：《现代控制理论》，李斌主编，重庆大学出版社，2003年8月。现代控制理论主要参考书:1、《现代控制理论》(第3版)，刘豹、唐万生主编，机械工业出版社，2006年9月。2、《现代控制理论》，谢克明主编，清华大学出版社，2007年4月。教材与参考书2绪论控制理论的发展概况现代控制理论的主要内容自动控制理论是关于自动控制系统构成、分析和综合的理论。任务是研究自动控制系统的运动规律及改变这种运动规律的可能性和途径，为设计高性能的自动控制系统提供必要的理论手段。3经典控制理论现代控制理论现代控制理论与经典控制理论的比较现代控制理论的主要内容本课程的主要内容4控制理论的发展概况经典控制理论形成和发展①在20世纪30-40年代，初步形成。②在20世纪40年代末形成体系。以SISO线性定常系统为研究对象。以拉氏变换为工具，以传递函数作为分析与设计基础。经典控制理论的局限性①难以有效地应用于时变系统、多变量系统。②难以有效地应用于非线性系统。5二次世界大战中火炮，雷达，飞机以及通讯系统的控制研究直接推动了经典控制的发展。五十年代后兴起的现代控制理论起源于冷战时期的军备竞赛，如导弹(发射，操纵，指导及跟踪)，卫星，航天器和星球大战，以及计算机技术的出现。6现代控制理论形成和发展①在20世纪50年代，初步形成。动态规划法极大值原理卡尔曼滤波②上世纪60年代至80年代迅速发展。非线性系统大系统智能系统以MIMO线性、非线性、时变与非时变系统为主要研究对象。以线性代数和微分方程为工具，以状态空间法为基础。7类别经典控制理论现代控制理论研究对象单输入-单输出的线性定常系统多输入-多输出线性、非线性、时变与非时变系统数学基础复变函数、拉氏变换和Z变换线性代数、矩阵理论等数学模型传递函数（外部描述）状态方程（内部描述）分析方法根轨迹法和频域法状态空间法主要内容系统的稳定性、稳态精度和动态性能的分析与设计系统的运动分析、运动稳定性分析、能控/能观测性、极点配置、状态观测器设计等现代控制理论与经典控制理论的比较81)系统辨识2)线性系统理论3)最优控制理论4)最优估计理论5)自适应控制理论6)非线性系统理论…现代控制理论的主要内容9第1章主要介绍线性系统状态空间的基本概念、描述方法与非奇异变换；传递函数矩阵与状态空间描述的关系。第2章主要介绍线性系统运动的求解。重点是系统状态转移矩阵的概念、性质与计算方法。第3章主要介绍线性系统的能控性、能观性的基本概念及判别方法；对偶原理；结构分解与最小实现。第4章主要介绍分析系统稳定性的李雅普诺夫方法。重点是李雅普诺夫稳定性的概念及判稳定理的应用。第5章主要介绍线性定常系统的综合方法。重点是状态反馈、状态观测器及极点配置方法；分离原理。第1章建立系统状态空间模型；第2章进行定量分析；第3、4两章作定性分析；第5章系统设计。本课程的主要内容10第1章动力学系统的状态空间描述1.1状态空间描述的基本概念1.2根据系统的物理机理建立状态空间表达式1.3根据系统的输入输出关系建立状态空间描述1.4根据控制系统的结构图建立状态空间表达式1.5等价变换与特征值标准形1.6状态空间表达式与传递函数阵1.7离散时间系统的状态空间表达式本章内容是学习现代控制理论所必须的基础知识111.1状态空间描述的基本概念动力学系统动力学系统的状态状态空间表达式模拟结构图121.动力学系统凡行为能用一个或一组微分方程或差分方程描述的系统称为动力学系统。这类系统具有储存输入信息的能力。动力学系统……u1u2ury1y2ymx1x2xn输入输出关系不同的两类系统：代数方程微分方程13)11.1()(1)(21tuRRti式(1.1-1)为一代数方程，它表明此系统的行为可以由输出与输入之间的瞬态关系确定，与系统的过去历史无关。例1.1-1设有图1.1所示系统。(a)电阻电路14例1.1-1设有图1.1所示系统。(b)电感电路001()()()(1.12)ttititudL式(1.1-2)为一微分方程。电感元件具有存储信息的能力，系统的未来行为受过去历史的影响，因而必须引入一个变量来描述系统的初始信息。15()(s)=()(1)mmamsKWUssTsau数学模型两种模式输入输出模式：微分方程、传递函数、频率特性状态变量模式：状态变量、状态空间描述直流电动机的传递函数输入：电枢电压输出：角位移电枢电流？m162.动力学系统的状态状态：指系统过去、现在和将来的运动状况。例1.1-2质点的运动。若要确定某一时刻的s(t)，必须给出f(t)、s(t0)和v(t0)。或者说，该质点每一时刻的状况，必须用该时刻的位置s(t)和速度v(t)这两个变量来完全地表征该质点的运动状态。()()matft001()()()ttvtvtfdm201()()()2ststvttat由牛顿第二定律，可得如下动力学方程：17动力学系统的状态：是指能够完全表征系统运动状态的一个最小变量组。该变量组中的每一个变量称为状态变量。00()1)ttxtxt表示系统时刻的状态。0t2)0tttu0tt当时的输入给定，且上述时的行为。状态确定时，状态变量能完全确定系统初始在181212()()()()()()()Tnnxtxtxtxtxtxtxt状态向量：以系统的n个独立状态变量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)作为分量的向量称为状态向量，即状态空间：以n个状态变量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)为坐标轴构成的n维空间称为状态空间。状态轨线：系统在任意时刻t的状态，在状态空间中用一点来表示。随着时间的推移，系统的状态不断地变化，并在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨线。193.状态空间表达式状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。状态空间模型由以下二部分组成：描述系统的动态特性行为的状态方程描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出方程下面以一个由电容、电感等储能元件组成的二阶RLC电网络系统为例,说明状态空间模型的建立和形式,然后再进行一般的讨论。20例某电网络系统的模型如图2-3所示。试建立以电压ui为系统输入,电容器两端的电压uC为输出的状态空间模型。解：1.由系统内部机理列出各物理量所满足的关系式。对本例,针对RLC网络的回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的方程ddddLLCiCLiRiLuutuiCt+R-LC+-uCiLui图2-3RLC电网络系统212.选择状态变量状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数。对本例3.将状态变量代入各物理量所满足的方程,整理得一规范形式的一阶矩阵微分方程组--状态方程。每个状态变量对应一个一阶微分方程,导数项的系数为1,非导数项列写在方程的右边。12(),().Lcxtixtu22对本例,经整理可得如下状态方程1122-/-1/1/1/00ixxRLLLuxxC写成向量与矩阵形式为：212]10[xxxuC122111dd11ddxCtxuLxLxLRtxi4.列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程。对本例23其中5.将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间模型ABCxxuyx]10[0/10/1/1-/-][][21CLBCLLRAuuxxCiyux24由上述例子,可总结出状态空间模型的一般形式为ABCDxxuyxu其中x为n维的状态向量;u为r维的输入向量;y为m维的输出向量;A为nn维的系统矩阵;B为nr维的输入矩阵;C为mn维的输出矩阵;D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵,直接转移矩阵)。25对前面引入的状态空间模型的意义,有如下讨论:状态方程描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况,它主要决定系统的动态特性。输入矩阵B又称为控制矩阵,它表示输入对状态变量变化的影响。输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响,许多系统不存在这种直联关系,即直联矩阵D=0。26上述线性定常连续系统的状态空间模型可推广至时变系统非线性系统1.线性时变系统()()()()AtBtCtDtxxuyxu其中各矩阵为时间t的函数,随时间变化而变化。272.非线性系统(,)(,)xfxuygxu其中f(x,u)和g(x,u)分别为n维和m维状态x和输入u的非线性向量函数。这些非线性函数中不显含时间t,即系统的结构和参数不随时间变化而变化。3.非线性时变系统(,,)(,,)ttxfxuygxu其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分别为如下n维和m维关于状态向量x、输入向量u和时间t的非线性向量函数f(x,u,t)=[f1(x,u,t)f2(x,u,t)…fn(x,u,t)]g(x,u,t)=[g1(x,u,t)g2(x,u,t)…gm(x,u,t)]28状态变量的特点：独立性：状态变量之间线性独立。多样性：状态变量的选取并不唯一。等价性：两组状态向量之间满足非奇异变换。现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量。抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义。294.模拟结构图由积分器、加法器、比例器和有向线段构成，用来表示系统输入、输出及各状态变量之间的信息传递关系的图形，称为线性定常系统状态空间表达式的模拟结构图或状态变量图。便于用模拟计算机对状态空间表达式进行求解。积分器加法器比例器模拟结构图中的三种基本元件30绘制步骤：(1)绘制积分器(2)画出加法器和放大器(3)用有向线段连接各元件buaxx一阶标量系统x3112233123632xxxxxxxxu21xxy112233123010000106321110xxxxuxxxyxx三阶系统32xx多输入多输出系统的状态变量图画成图1.8的形式，图中双箭头表示向量信号的传递通道。ABCDxxuyxu33已知系统的状态变量图，列写系统的状态空间表达式。12122122522xxuuxxxu1121222yxyxxu11122205121201xxuxxu11122210001201yxuyxu341.2根据系统的物理机理建立状态空间表达式由物理机理建立状态空间表达式的步骤：1)选择系统中独立的储能元件的物理变量作为状态变量。2)根据物理定律列写原始方程。3)经整理写出状态方程和输出方程。35常见的储能元件及其状态变量选取参考序号储能元件名称状态变量1电感L流经L的电流i2电容C电容的电压u3质量M质量M的速度v4弹簧k弹簧位移x5转动惯量J旋转角速度ω36RLC电网络uLcu2R1RLi例：试列写如图所示RLC电网络的状态空间表达式。12,,LCxixu解：选择状态变量372CLCdudiLuCRudtdt11()CLLdudiiuLCdtRdt整理得1211212()CLLudiiRRRudtLLRRLRR112121CLcduRiudtCRRCRR列写原始方程uLcu2R1RLi38状态方程为11212112121()dxRRRxuxdt