应用多元统计分析课后习题答案高惠璇(第三章部分习题解答)

应用多元统计分析第三章习题解答2第三章多元正态总体参数的假设检验3-1设X～Nn(μ,σ2In),A为对称幂等阵,且rk(A)=r(r≤n),证明证明因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1,且只有r个非0特征值，即存在正交阵Γ(其列向量ri为相应特征向量)，使3第三章多元正态总体参数的检验4其中非中心参数为第三章多元正态总体参数的检验53-2设X～Nn(μ,σ2In),A，B为n阶对称阵.若AB＝0,证明X′AX与X′BX相互独立.证明的思路：记rk(A)=r.因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得Γ′AΓ=diag(λ1,…,λr0,..,0)令Y＝Γ′X，则Y～Nn(Γ′μ,σ2In),第三章多元正态总体参数的检验且riiiYAΓΓΓYAΓΓΓYAXX12)(6又因为X′BX=Y′Γ′BΓY=Y′HY其中H=Γ′BΓ。如果能够证明X′BX可表示为Yr+1，…,Yn的函数，即H只是右下子块为非0的矩阵。则X′AX与X′BX相互独立。第三章多元正态总体参数的检验7证明记rk(A)=r.若r=n,由AB＝O,知B＝On×n,于是X′AX与X′BX若r=0时,则A＝0,则两个二次型也是独立的.以下设0＜r＜n.因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得第三章多元正态总体参数的检验8其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是令r第三章多元正态总体参数的检验由AB＝O可得DrH11＝O，DrH12＝O.因Dr为满秩阵,故有H11＝Or×r，H12＝Or×(n-r).由于H为对称阵，所以H21＝O(n-r)×r.于是9由于Y1，…,Yr,Yr+1,…,Yn相互独立，故X′AX与X′BX相互独立.第三章多元正态总体参数的检验令Y＝Γ′X，则Y～Nn(Γ′μ,σ2In),且riiiYAΓΓΓYAΓΓΓYAXX12)(nrnrYYHYYHYYBΓΓΓYBXX1221),,(BΓΓH10设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B为p阶对称阵,试证明(X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)相互独立ΣAΣBΣ＝0p×p.第三章多元正态总体参数的检验3-3)(记1212111由“1.结论6”知ξ与η相互独立第三章多元正态总体参数的检验OBAOBAOCD2121212112性质4分块Wishart矩阵的分布:设X(α)～Np(0,Σ)(α＝1,…,n)相互独立，其中又已知随机矩阵则rpr22211211),(W~222112111)()(nrpr第三章多元正态总体参数的检验试证明Wishart分布的性质(4)和T2分布的性质(5).3-413第三章多元正态总体参数的检验证明:设)()2(|)1(rpnrnijpnXXxX),,0(~),,0(~则,22)2()(11)1()()2()()1()()(rprNXNXrprXXX记,则,)2()2()1()2()2()1()1()1(22211211)2()2(),1()1(2211XXWXXW即14第三章多元正态总体参数的检验).,(~)()2()2(122)2()()2()(22nrpnWXXXXW当Σ12=O时,对α＝1,2,…,n,相互独立.故有W11与W22相互独立.)2()()1()(与XX);,(~)()1()1(111)1()()1()(11nrnWXXXXW由定义3.1.4可知15性质5在非退化的线性变换下,T2统计量保持不变.证明:设X(α)(α＝1,…,n)是来自p元总体Np(μ,Σ)的随机样本,X和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵,则由性质1有).1,(~)())(1(212npTXAXnnTxx第三章多元正态总体参数的检验令()()(1,...,)iiYCXdin其中C是pp非退化常数矩阵，d是p1常向量。则),...,2,1(),(~)(niCCdCNYpi1622xyTT21112)())(1()(][))(1()())(1(xxxyyyyTXAXnnXCCCACXnnYAYnnT第三章多元正态总体参数的检验,dXCYCCACXXXXCYYYYAxiniiiniiy])()([)()()(1)()(1)(所以dCy记17第三章多元正态总体参数的检验3-5对单个p维正态总体Np(μ,Σ)均值向量的检验问题，试用似然比原理导出检验H0:μ=μ0(Σ=Σ0已知)的似然比统计量及分布.解:总体X～Np(μ,Σ0)(Σ0＞0),设X(α)(α=1,…,n)(n＞p)为来自p维正态总体X的样本.似然比统计量为),(max),(max0000LLnnXX10)(100)(2/0)()(21exp|2|1分子nnXX10)(0)(102/0]))(([tr21exp|2|1P66当Σ=Σ0已知μ的检验18第三章多元正态总体参数的检验][tr21exp|2|1分子0102/0An),(max),(分母00LXLnnXXXX1)(10)(2/0)()(21exp|2|1nnXXXX1)()(102/0]))(([tr21exp|2|1][tr21exp|2|1102/0An19第三章多元正态总体参数的检验),(max),(max0000LL]21[tr]21[trexp01010AA]))(((21[tr]21[trexp001010XXnAA)]()[(tr2exp0100XXn)()(2exp0100XXn20第三章多元正态总体参数的检验)()(2ln0100XXndef0100)()(ln2XXn),0(~)(),1,(~0下000下00pHpHNXnnNX).(~ln22p因所以由§3“一﹑2.的结论1”可知21第三章多元正态总体参数的检验3-6(均值向量各分量间结构关系的检验)设总体X～Np(μ,Σ)(Σ＞0),X(α)(α＝1,…,n)(n＞p)为来自p维正态总体X的样本，记μ＝(μ1,…,μp)′.C为k×p常数(kp),rank(C)=k,r为已知k维向量.试给出检验H0:Cμ＝r的检验统计量及分布.解：令),,2,1()()(nCXY则Y(α)(α＝1,…,n)为来自k维正态总体Y的样本，且.,记);,(~y)(CCCCCΣCNYyk22第三章多元正态总体参数的检验rHrCHy::00检验这是单个k维正态总体均值向量的检验问题.利用§3.2当Σy=CΣC′未知时均值向量的检验给出的结论,取检验统计量:),(~)1(02knkFTknknFH下).()()1().()()1(其中112rXCCCArXCnnrYArYnnTy.)()()(1)(XXXXAinii23第三章多元正态总体参数的检验3-7设总体X～Np(μ，Σ)(Σ＞0),X(α)(α＝1,…,n)(n＞p)为来自p维正态总体X的样本，样本均值为X，样本离差阵为A.记μ＝(μ1,…,μp)′.为检验H0:μ1=μ2=…=μp,H1:μ1,μ2,…,μp至少有一对不相等.令,100101010011)1(ppC则上面的假设等价于H0：Cμ=0p-1,H1：Cμ≠0p-1试求检验H0的似然比统计量和分布.解：ppHH,,,:,:211210至少有一对不相等.24第三章多元正态总体参数的检验利用3-6的结果知，检验H0的似然比统计量及分布为：,0:,0:10CHCH下0~)1)(1()1(2HTpnpnF),1,1(pnpF其中)).(1,1(~][)()1(0212下HpnTXCCCAXCnnT(注意:3-6中的k在这里为p-1)25第三章多元正态总体参数的检验3-8假定人体尺寸有这样的一般规律:身高(X1),胸围(X2)和上半臂围(X3)的平均尺寸比例是6∶4∶1.假设X(α)(α＝1,…,n)为来自总体X=(X1,X2,X3)′的随机样本.并设X～N3(μ,Σ)，试利用表3.5中男婴这一组数据检验三个尺寸(变量)是否符合这一规律(写出假设H0,并导出检验统计量).解：检验三个尺寸(变量)是否符合这一规律的问题可提成假设检验问题.因为01:4:6::321C其中,41060132C.040614,1632313231且注意:26第三章多元正态总体参数的检验,0:,0:10CHCH检验的假设H0为410032或,601032或CC利用3-6的结论，取检验统计量为：)2,2(~)1(2202nFTnnFH下.][)()1(12XCCXAXCnnT由男婴测量数据(p=3,n=6)计算可得T2=47.1434,F=18.8574,p值=0.009195α=0.05,故否定H0,即认为这组数据与人类的一般规律不一致.27第三章多元正态总体参数的检验3-9对单个p维正态总体Np(μ,Σ)协差阵的检验问题，试用似然比原理导出检验H0:Σ=Σ0的似然比统计量及分布.解:总体X～Np(μ,Σ),设X(α)(α=1,…,n)为来自p维正态总体X的样本.似然比统计量为),(max),(max,0LLnnXXXXXLX1)(10)(2/00)()(21exp|2|1),(且最大值,达最大ˆ分子当28第三章多元正态总体参数的检验nnXXXX1)()(102/0]))(([tr21exp|2|1Annp1020221etr||)2(),(max)1,(分母,LAnXL22222||)2(||2nnpnpnnpAenAen29第三章多元正态总体参数的检验),(max),(max,0LL210102221020||21etr||21etr||nnpnnpnAAneAenA由定理3.2.1,当n充分大时,有.2)1(~ln22pp30第三章多元正态总体参数的检验3-10对两个p维正态总体Np(μ(1),Σ)和Np(μ(2),Σ)均值向量的检验问题，试用似然比原理导出检验H0：μ(1)=μ(2)的似然比统计量及分布.),,(max),(max)2()1(0,,0,)2()1(LL解:设(α＝1,…,ni)为来自总体X～Np(μ(i),Σ)的随机样本(i=1,2),且相互独立,Σ0未知.检验H0似然比统计量为21)()()()(1)()()2,1())((nnniXXXXAii