高三一轮总复习理科数学新课标第8章-第2节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第二节两条直线的位置关系考纲传真1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔.②当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.k1＝k2k1·k2＝－1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．距离P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离d＝x2－x12＋y2－y12|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B2菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为|kx0＋b|1＋k2()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】(1)中，l1∥l2，或l1与l2重合，不正确．在(2)中，可能一条直线的斜率不存在，另一斜率为0，(2)错．显然(3)正确．(4)中的距离为|kx0－y0＋b|1＋k2，不正确．【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A.2B．2－2C.2－1D.2＋1【解析】由题意知|a－2＋3|2＝1，∴|a＋1|＝2，又a＞0，∴a＝2－1.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．(2014·合肥质检)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0【解析】设所求直线为x－2y＋c＝0(c≠－2)，由点(1,0)在直线上，则c＝－1，∴所求直线的方程为x－2y－1＝0.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，即a＝－2或a＝1，所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝.【解析】∵直线x－2y＋5＝0与2x＋my－6＝0互相垂直，∴12×－2m＝－1，∴m＝1.【答案】1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1两条直线的平行与垂直问题【例1】(1)已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为()A．0或3或－1B．0或3C．3或－1D．0或－1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)(2013·辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有()A．b＝a3B．b＝a3＋1aC．(b－a3)b－a3－1a＝0D．|b－a3|＋b－a3－1a＝0【思路点拨】(1)由两直线平行或重合的条件，求出a值进行检验．(2)依据直角三角形的垂直条件，确定a，b间的关系．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)由3a－(a－2)a2＝0得a(a2－2a－3)＝0，∴a＝－1或0或3.检验当a＝0或－1时两直线平行，当a＝3时两直线重合．(2)显然O不是直角顶点，否则a＝0，点O与B重合．①若∠A＝π2，则b＝a3≠0.②若∠B＝π2，根据斜率关系可知a2·a3－ba＝－1，∴a(a3－b)＝－1，即b－a3－1a＝0，综上①②知(b－a3)b－a3－1a＝0.【答案】(1)D(2)C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.解答本题(1)时应注意，在利用两直线平行或重合的充要条件求出a值后，应代入原直线方程检验．2．设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则(1)l1∥l2或l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0.(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)若l3∥l1，则l3可设为A1x＋B1y＋m＝0(m≠C1)．(4)若l3⊥l1，则l3可设为B1x－A1y＋n＝0.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为()A．－10B．－2C．0D．8【解析】∵直线l2的斜率为－2，又l1∥l2，则4－mm＋2＝－2，得m＝－8，因为l2⊥l3，则－1n＝12得n＝－2，∴m＋n＝－10.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2两直线的交点与距离问题【例2】(1)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．(2)求过点P(2，－1)且与原点距离为2的直线l的方程．【思路点拨】(1)可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．(2)利用待定系数法，注意斜率是否存在．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)法一方程组3x＋2y－1＝0，5x＋2y＋1＝0，得l1、l2的交点坐标为(－1,2)，∵l3的斜率为35，∴l的斜率为－53，则直线的点斜式方程l：y－2＝－53(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）法二由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)若l的斜率不存在，则直线x＝2满足条件．若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知，得|－2k－1|k2＋1＝2，解得k＝34.此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.(1)求两直线的交点坐标，转化为求两直线方程组成的方程组的解．(2)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．求点到直线的距离时，首先将方程化为一般方程，再代入公式计算．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2已知点P(2，－1)，试求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，并求出原点到直线的最大距离．【解】作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，如图．由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－1kOP＝2.又点P(2，－1)在直线l上，由点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.∴直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3对称问题【例3】已知点A的坐标为(－4,4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线l关于点A的对称直线l′的方程．【思路点拨】(1)充分利用对称的特征“垂直”、“平分”建立等量关系；(2)利用点的转移求解或点到直线的距离求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)设点A′的坐标为(x，y)，由题意可知y－4x＋4＝13，3×x－42＋y＋42－2＝0，解得x＝2，y＝6，∴A′点的坐标为(2,6)．(2)法一在直线l′上任取一点P′(x，y)，其关于点A(－4,4)的对称点(－8－x,8－y)必在直线l上，∴3(－8－x)＋(8－y)－2＝0，即3x＋y＋18＝0，所以所求直线的方程为3x＋y＋18＝0.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）法二由题意可知l′∥l，设l′的方程为3x＋y＋c＝0，由题意可知|－12＋4＋c|9＋1＝|－12＋4－2|9＋1，解得c＝18，或c＝－2(舍)，所以所求直线的方程为3x＋y＋18＝0.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法31.本题考查的是点关于线对称及线关于点对称的问题．2．处理点关于点的对称问题主要抓住已知点与对称点连成线段的中点为对称中心．处理点关于直线对称问题要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练3直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是()A．x－2y＋3＝0B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－1＝0【解析】设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由x＋x02－y＋y02＋2＝0，x－x0＝－y－