计算流体力学part1(基础知识2)

湍流模型简介考虑到湍流运动中动量与能量交换主要受大尺度涡的影响，为了避免直接求解小尺度湍动量，有两大类方法用于解决工程实际问题：其一是所谓“雷诺平均”（ReynoldAveraging）方法，另一类是“滤波”(filtering)思想，即所谓大涡模拟(LES)(LargeEddySimulation)湍流模型简介一、“雷诺平均”模式（RANS)根据湍流统计平均理论，湍流的速度、压强都可以分解为平均量和脉动量'iiiuuuppp其中，,iup为系综统计平均量，例对速度定义为1()()/NiiiiikkuuPuduuN其中,()iPu为速度的概率密度。,iup为脉动量一、“雷诺平均”模式（RANS)对定常湍流对均匀湍流01limTiiTuudtT3121231231lim()8illliilllluudxdydzlll一、“雷诺平均”模式（RANS)对N-S方程做系综平均0iiux21()iiijijijjuupuuftxxxx遵循求导和系综平均可交换的原则，上式的线性项可直接写出:iiuutt一、“雷诺平均”模式（RANS)对非线性对流项()()(()())()()ijijjiijijijijijjjjjijijjuuuuuuuuuuuuuuuuxxxxuuuux将以上方程代入N-S方程的系综平均中:0iiux21()()iiijijijijjiupuuuuuftxxxxx()ijijRuu为雷诺应力一、“雷诺平均”模式（RANS)RANS方程和原N-S方程在形式上很相似，只是多了雷诺应力项（6个）。这样，方程只有4个，而变量有10个。为封闭这个方程组，人们提出了各种湍流模化方法将与时均量u，p等联系起来。一、“雷诺平均”模式（RANS)脉动运动方程用N-S方程减去RANS方程得：0iiux21()iiiijjijijijjijijuuuupuuuuuutxxxxxx这即为脉动运动方程，在该方程中，也出现了雷诺应力项，因此，也是不封闭的。一、“雷诺平均”模式（RANS)雷诺应力输运方程从湍流脉动方程出发，在脉动方程上乘以，再在脉动方程上乘以，两式相加后做平均运算，得到22()()1()()()ijijjikikjkjikkkijjijkijikkkkkuuuuuuppuuuuuuutxxxxxuuuuuuuxxxxxiujujuiu一、“雷诺平均”模式（RANS)雷诺应力输运方程()jjiijiijijjiupuupuppuupxxxxxx22()()22jjjiiijijikkkkkkkkkkijjikkkkuuuuuuuuuuxxxxxxxxxxuuuuxxxx一、“雷诺平均”模式（RANS)雷诺应力输运方程最后得雷诺应力输运方程()()()()12ijijjjiikikjkkkkjiijjijkjiiijkkkkkuuuuuuuupuuuuuptxxxxxuuupuuuuupuxxxxxxx雷诺应力输运方程是不封闭的，由N-S方程还可推导出更高阶相关量的输运方程，但方程中必然出现更高阶相关量，因此由N-S方程导出的湍流统计方程总是不封闭的，湍流模型的任务是研究统计方程的封闭方法雷诺应力生成项Pij雷诺应力扩散项Dij雷诺应力再分配项雷诺应力耗散项Eij一、“雷诺平均”模式（RANS)雷诺应力输运方程对雷诺应力输运方程做张量收缩运算后即为湍动能输运方程湍动能定义单位质量脉动运动的动能平均量12iikuu2()()()1()11,22ikiikikkkkkkkkkijijuupuukkkkuuuutxxxxxxxxkuukuu一、“雷诺平均”模式（RANS)雷诺应力输运方程雷诺应力生成项Pijjiikjkkkuuuuuuxx是平均运动变形率和雷诺应力联合作用的结果，因此，没有平均运动变形率就没有雷诺应力的生成。一、“雷诺平均”模式（RANS)雷诺应力输运方程雷诺应力扩散项Dij()1()ijjijkiijkkkijjiikjkijkkkuuupuuuupxxxxxuuupupuuuxx具有梯度形式！它在有限体中的总贡献等于边界上的输运量由脉动速度和脉动压强的关联产生的扩散由分子粘性产生的扩散由脉动速度uk携带的雷诺应力的平均输运一、“雷诺平均”模式（RANS)雷诺应力输运方程雷诺应力耗散项Eij2jikkuuxx做张量收缩运算后即为湍动能耗散率，是使湍动能消失的项iikkuuxx一、“雷诺平均”模式（RANS)雷诺应力输运方程雷诺应力再分配项()jiijjiuupxx当对其作张量收缩运算后为0，这说明，它对湍动能没有贡献。它使湍动能在湍流脉动速度分量间重新分配。一、“雷诺平均”模式（RANS)雷诺应力输运方程湍流脉动的频谱，波谱和湍流脉动尺度定常湍流中脉动速度二阶时间自相关的频谱表示脉动动能在对应频段中的分布。频谱中的高频成分表示快变的脉动成分，或时间尺度小的脉动。（频率的倒数是时间尺度）均匀湍流脉动速度二阶空间自相关的波谱表示脉动动能在对应波段中的分布。波谱表示湍流脉动量在空间尺度上的分布，波树的倒数是空间长度尺度，波谱中的高波数成分表示长度尺度小的湍流脉动。（波数的倒数是空间尺度）一、“雷诺平均”模式（RANS)雷诺应力输运方程不可压均匀各项同性湍流中的能量传输大尺度湍流脉动为提供湍动能，流体的惯性把大尺度的湍动能传输给小尺度湍流，小尺度湍流将湍动能耗散。流动的雷诺数越高，含能的大尺度与耗能的小尺度间的间隔越大。一、“雷诺平均”模式（RANS)雷诺应力输运方程含能波数和含能尺度能谱最大值的波数定义为含能波数，它的倒数为含能尺度L。含能尺度指，该尺度量级的湍流脉动几乎占有所有的湍动能。如在湍流边界层中，含能尺度与边界层厚度同一量级。含能尺度有以下估计：在含能尺度范围内包含总能量k,它向小尺度湍流传递的能量为eink33/2'1inukLk一、“雷诺平均”模式（RANS)雷诺应力输运方程耗能波数和耗能尺度只有湍动能耗散，而能量传输几乎为0的波数定义为耗散波数，它的倒数定义为耗散尺度。耗散尺度及速度量级估计如下：1/431/4()ddluv以耗散尺度和耗散脉动速度为特征的雷诺数为耗散雷诺数Re/1ddu在耗散尺度范围内的湍流脉动是粘性主宰的。dl一、“雷诺平均”模式（RANS)——涡粘模型涡粘模型的一般形式（布辛涅斯克假设）（类比于物理粘性）''2()()3jiijtijjiuuuukxx一、“雷诺平均”模式（RANS)——涡粘模型混合长度模型（复习流体力学教材）混合长度类比于分子自由程，在历经混合长度的横向距离上，脉动速度正比于混合长度及平均速度的梯度：涡粘系数应当正比于脉动速度和混合长度之积（对比：分子粘性系数正比于分子自由程和分子热运动速度之积）单方程模型（自学）标准k-ε模型tul一、“雷诺平均”模式（RANS)——涡粘模型:标准k-ε模型标准的k-ε双方程令2kCt该式依据的是脉动动量输运的物理机制（涡粘系数应当正比于脉动速度和混合长度之积（类比：分子粘性系数正比于分子自由程和分子热运动速度之积）），是含能涡的速度尺度，即，其中k为湍动能，而含能尺度涡向小尺度涡的能量传递率等于,因此，含能的长度尺度等于tuluuk3/2kl一、“雷诺平均”模式（RANS)——涡粘模型:标准k-ε模型标准的k-ε双方程其中，k-ε分别通过他们的输运方程求出2()()()1()11,22ikiikikkkkkkkkkijijuupuukkkkuuuutxxxxxxxxkuukuu湍动能的生成项湍动能的扩散项湍动能的耗散项一、“雷诺平均”模式（RANS)——标准k-ε模型湍动能的生成项''jkijiuGuux2iktijjuGSx)(21ijjiijxuxuS一、“雷诺平均”模式（RANS)——标准k-ε模型湍动能的扩散项[()]tikikxx2()1()kkkkkupkkuxxxx一、“雷诺平均”模式（RANS)——涡粘模型:标准k-ε模型由湍流脉动方程可以导出湍动能耗散方程如下''2''''''''''2222''22jjiikiiiiikkkkkjjkikkjjkmmiikkkmmkmmuuuuuuuuuuuuutxxxxxxxxxxxxxuuupuxxxxxx2''22iimkmkuuxxxx湍动能耗散的生成项湍动能耗散的扩散项湍动能的耗散项一、“雷诺平均”模式（RANS)——涡粘模型:标准k-ε模型湍动能耗散的模化2ikxkk1t22湍动能耗散的生成项＝C湍动能生成项湍动能耗散的梯度扩散＝湍动能耗散的消失项＝C湍动能耗散项=C一、“雷诺平均”模式（RANS)——涡粘模型:标准k-ε模型标准的k-ε双方程其中，分别通过他们的输运方程求出kiktiGxkxDtDk])[(212[()]tkiiDcGcDtxxkk,k一、“雷诺平均”模式（RANS)——涡粘模型:标准k-ε模型标准k-ε模型模式常数120.091.01.31.441.92kccc一、“雷诺平均”模式（RANS)——涡粘模型:改进的k-ε模型自学RNGk-ε模型和Realizablek-ε模型一、“雷诺平均”模式（RANS)——涡粘模型:非线性k-ε模型将雷诺应力用以下代数式近似3''12333235222213313ijijijikjkmnmmijijijikjkmnmmijikjkjkikkkkkuukcSaSSSSSSkkkaaSSautx式中的k-ε通过解相应的输运方程获得。一、“雷诺平均”模式（RANS)——涡粘模型:k-ε模型壁面函数对一般工程问题，第一层网格一般不能伸到粘性底层(在该区域，k-ε模型不适用），需要采用壁面函数。1ln()/wuEyuu