圆周运动临界问题

用心爱心专心竖直平面内的圆周运动的临界问题竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值。１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。（注意：绳对小球只能产生拉力）（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用mg=2vmRv临界=Rg（2）小球能过最高点条件：v≥Rg（当vRg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）（3）不能过最高点条件：vRg（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。）（1）小球能最高点的临界条件：v=0，F=mg（F为支持力）（2）当0vRg时，F随v增大而减小，且mgF0（F为支持力）（3）当v=Rg时，F=0（4）当vRg时，F随v增大而增大，且F0（F为拉力）【案例剖析】例1．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度0v，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是（）A．球过最高点时，速度为零B．球过最高点时，绳的拉力为mgv·绳图6-11-1vabvO杆图6-11-2ba用心爱心专心C．开始运动时，绳的拉力为2vmLD．球过最高点时，速度大小为Lg解析：开始运动时，由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力，即20vFmgmL，20vFmmgL，可见C不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，2vmgmL，vLg，所以，A、B、C均不正确。故选：D例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是（）A．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零B．球过最高点时，最小速度为RgC．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反D．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力解析：小球用轻杆支持过最高点时，0v临，故B不正确；当vRg时，F=0故A正确。当0vRg时，mgF0，F为支持力故D正确。当vRg时，F0，F为拉力，故C不正确。故选：A、D例3．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长L=40cm，求：（１）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？（２）桶在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力？解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需的向心力。即：20vmgmR，则最小速率00.410vRgm/s=2m/s（2）水在最高点速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为F，由牛顿第二定律有F+mg=2vmR，F=2vmRmg=6.25N，由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力F/＝F=6.25N，方向竖直向上。【知识链接】如图6-11-4所示，地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球半径R（约为6400km）。地面上有一辆汽车，重量是G=mg，地面对它的支持力是F。汽车沿南北方向行驶，不断加速。根据上面的分析，汽车速度越大，地面对它的支持力就越小，会不会出现这样的情况：速度大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员与座椅之间的压力是多少？驾驶员身体各部分之间的压力是多少？他这时可能有什么感觉？（g取10m/s２）【目标达成】1．如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F可能（）A．是拉力B．是推力C．等于零图6-11-4地球可以看作一个巨大的拱形桥O图6-11-3O图6-11-5用心爱心专心D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零解析：到最高点临界速度为vRg临，当vv临界时，F＝0；当vv临界时，F为拉力。故选：A、C2．（1999年全国）如图6-11-6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）A．a处为拉力，b处为拉力B．a处为拉力，b处为推力C．a处为推力，b处为拉力D．a处为推力，b处为推力解析：小球到最低点时，向心力向上，此时细杆的作用力与小球的重力的合力提供向心力，细杆作用力向上，一定为拉力；当到最高点时，向心力向下，当0vRg时，Fmg向，此时为推力，当vRg，Fmg向，此时为拉力。故选：A、B3．长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v，则下列叙述正确的是（）A．v的最小值为gLB．v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大C．v由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大D．v由gL逐渐减小，杆对小球的弹力逐渐增大解析：这是“杆模型”，小球到最高点速度0v，A错；由2vFmL向得，v增大，F向增大，B对；当0vLg时，弹力F随v减小而增大（F为支持力），当vLg时，F随v增大而增大（F为拉力）,C错，D对。故选：B、D4．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是（）A．0B．mgC．3mgD．5mg解析：到最高点临界速度为v，则：2vmgmR；当速度为2v时，则：2(2)vFmgmR（F为压力）；由上两式解得：F=3mg。故选：C5．长为L的细绳一端拴一质量为m的小球，小球绕细绳另一固定端在竖直平面内做圆周运动并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为1v和2v，细线所受拉力分别为1F、2F，则（）A．1v=5gLB．2v=0C．1F=5mgD．2F=0解析：小球恰能通过最高点，细线拉力2F=0，有22vmgmL，得2v=gL；由机械能守恒得：221211222mvmgLmv，解得：1v=5gL；通过最低点时，有211vFmgmL，解得16Fmg。故选：A、D6．质量可忽略，长为L的轻棒，末端固定一质量为m的小球，要使其绕另一端点在竖直平面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度v必须满足的条件为（）aO·b图6-11-6用心爱心专心A．v≥2gLB．v≥3gLC．v≥2gLD．v≥5gL解析：小球到最高点速度1v≥0，由机械能守恒得：22111222mvmgLmv，解得：v≥2gL。故选：C7．如图6-11-7所示，一个高为h的斜面，与半径为R的圆形轨道平滑地连接在一起。现有一小球从斜面的顶端无初速地滑下，若要使小球通过圆形轨道的顶端B而不落下，则斜面的高度h应为多大？解析：小球到达顶端B速度为v，则：22vmgmR解得：v≥Rg，由机械能守恒得：2122mghmgRmv解得：52hR8．如图6-11-8所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端O在竖直平面内作圆周运动，求：（1）小球在最高点A时速度Av为多大时，才能使杆对小球m的作用力为零？（2）小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是多少？（3）如m=0.5kg,L=0.5m,Av=0.4m/s,则在最高点A和最低点B时,杆对小球m的作用力各是多大?是推力还是拉力?解析：(1)若杆和小球之间相互作用力为零，那么小球作圆周运动的向心力由重力mg提供，2AmvmgL解得：AvLg(2)若小球m在最高点A时受拉力F，则21vFmgmL解得1FLvgLLgm若小球m在最高点A时受推力F，则22vmgFmL解得：2FLvLgLgm可见AvLg是杆对小球m的作用力F在推力和拉力之间突变的临界速度.(3)杆长L=0.5m时，临界速度0.510vLg临m/s=2.2m/s，Av=0.4m/sv临,杆对小球有推力AF。由2AAvmgFmL解得：2AAvFmgmL＝（20.50.40.5100.5）N=4.84N，由A到B只有重力做功，机械能守恒，设B点所处水平面为参考面，则有2211222ABmvmgLmv解得：2240.44100.5BAvvgLm/s=4.5m/s，在最低点B，小球m受拉力BF，由2BBvFmgmL解得220.54.5(0.510)0.5BBvFmgmLN=25.3N【拓展提高】9．如图6-11-9所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入A图6-11-8OAvhACDEh图6-11-7B用心爱心专心圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D，则小球在通过D点后（）A．会落到水平面AE上B．一定会再次落到圆轨道上C．可能会落到水平面AE上D．可能会再次落到圆轨道上解析：小球刚好能过最高点时速度v=Rg，离开D后作平抛运动，下落高度为R时间为t=2Rg，水平位移x=vt=2RR，所以，小球一定落在AE上。故选：A10．如图6-9-10所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，AB段平直，质量为m的小球以水平初速度0v射入圆管。（1）若要小球能从C端出来，初速度0v多大？（2）在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速度0v各应满足什么条件？解析：（1）小球恰好能达到最高点的条件是0v临＝，此时需要初速度为0v，由机械能守恒：2012R2mvmg＝得04vRg,因此要使小球能从C端出来需C0v，故入射速度04vRg（2）小球从C出来端出来瞬间，对管壁压力可以有三种典型情况：①刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，由圆周运动知识2CvmgmR由机械能守恒定律：220C112+22mvmgRmv＝联立解得05vgR②对下管壁有压力，此时应有2CvmgmR，相应的入射速度0v应满足045gRvgR③对上管壁有压力，此时应有2CvmgmR，相应的入射速度0v应满足05vgRCBRA图6-11-10