极坐标与参数方程题型及解题方法

Ⅰ复习提问1、极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？2、如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点O作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x轴的正半轴。如果点P在直角坐标系下的坐标为（x，y），在极坐标系下的坐标为),(,则有下列关系成立：ysinxcos3、参数方程cossinxryr表示什么曲线？4、圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？5、极坐标系的定义是什么？答：取一个定点O，称为极点，作一水平射线Ox，称为极轴，在Ox上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=，又∠xOP=.和的值确定了，则P点的位置就确定了。叫做P点的极半径，叫做P点的极角，),(叫做P点的极坐标（规定写在前，写在后）。显然，每一对实数),(决定平面上一个点的位置6、参数方程的意义是什么？参参数数方方程程极极坐坐标标Ⅱ题型与方法归纳1、题型与考点（1）极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2）参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化(3)利用参数方程求值域参数方程的几何意义2、解题方法及步骤（1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系xft（或()ygt，再代入普通方程,0Fxy，求得另一关系()ygt（或xft）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程2222ttttxty（为参数）表示的曲线是（）A.双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆解析：注意到2tt与2t互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t的项，222222224ttttxy，即有224yx，又注意到202222222ttttty，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为2242yxy（）.显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B练习1、与普通方程210xy等价的参数方程是（）（t为能数）222sincos1....cos1sinxtxtgtxtxtABCDytytgtytyt解析：所谓与方程210xy等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,xy的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.对于A化为普通方程为2101101xyxy，，，，；对于B化为普通方程为210(1]xyxRy，，，；对于C化为普通方程为210[0)(1]xyxy，，，，;对于D化为普通方程为2101101xyxy，，，，.而已知方程为210(1]xyxRy，，，，显然与之等价的为B.练习2、设P是椭圆222312xy上的一个动点，则2xy的最大值是，最小值为.分析：注意到变量,xy的几何意义，故研究二元函数2xy的最值时，可转化为几何问题.若设2xyt，则方程2xyt表示一组直线，（对于t取不同的值，方程表示不同的直线），显然,xy既满足222312xy，又满足2xyt，故点,xy是方程组2223122xyxyt的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式0问题.解析：令2xyt，对于,xy既满足222312xy，又满足2xyt，故点,xy是方程组2223122xyxyt的公共解，依题意得221182120ytyt，由22644112120tt，解得：2222t，所以2xy的最大值为22，最小值为22.（2）、极坐标与直角坐标的互化利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直角坐标为,xy，它的极坐标为,，则222cossinxyxyytgx或；若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角.例2、极坐标方程24sin52表示的曲线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由21cos4sin422cos522，化为直角坐标系方程为22225xyx，化简得22554yx.显然该方程表示抛物线，故选D.练习1、已知直线的极坐标方程为2sin42，则极点到该直线的距离是解析：极点的直角坐标为0,0o，对于方程222sinsincos4222，可得sincos1，化为直角坐标方程为10xy，因此点到直线的距离为22练习2、极坐标方程2cos0转化成直角坐标方程为（）A．201yy2x或B．1xC．201y2x或xD．1y分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：22(cos1)0,0,cos1xyx或，因此选C.练习3、点M的直角坐标是(1,3)，则点M的极坐标为（）A．(2,)3B．(2,)3C．2(2,)3D．(2,2),()3kkZ解析：2(2,2),()3kkZ都是极坐标，因此选C.（3）、参数方程与直角坐标方程互化例题3：已知曲线1C的参数方程为sin10cos102yx（为参数），曲线2C的极坐标方程为sin6cos2．（1）将曲线1C的参数方程化为普通方程，将曲线2C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线1C，2C是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．解：（1）由sin10cos102yx得10)2(22yx∴曲线1C的普通方程为10)2(22yx∵sin6cos2∴sin6cos22∵sin,cos,222yxyx∴yxyx6222，即10)3()1(22yx∴曲线2C的直角坐标方程为DAFEOBC10)3()1(22yx（2）∵圆1C的圆心为)0,2(，圆2C的圆心为)3,1(∴10223)30()12(C2221C∴两圆相交设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21CC∴222)10()223()2(d∴22d∴公共弦长为22练习1、坐标系与参数方程.已知曲线C：(sin21cos23yx为参数，0≤2π)，（Ⅰ）将曲线化为普通方程；（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．解析：（Ⅰ）023222yxyx（Ⅱ）sincos32（4）利用参数方程求值域例题4、在曲线1C：）yx为参数(sincos1上求一点，使它到直线2C：1222(112xttyt为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。解：直线C2化成普通方程是x+y-22-1=0设所求的点为P（1+cos,sin)则C到直线C2的距离d=2|122sincos1|=|sin(+4)+2|当234时，即=45时，d取最小值1此时，点P的坐标是（1-22，-22）练习1、在平面直角坐标系xOy中，动圆2228cos6sin7cos80xyxy+--++=（R）的圆心为(,)Pxy，求2xy-的取值范解：由题设得4cos,3sinxy（为参数，R）于是.28cos3sin73cos()xy，所以73273xy≤≤.练习2、已知曲线C的极坐标方程是sin2，设直线L的参数方程是,54253tytx（t为参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线L与x轴的交点是M，N曲线C上一动点，求MN的最大值.解：（1）曲线C的极坐标方程可化为：sin22又sin,cos,222yxyx.所以，曲线C的直角坐标方程为：0222yyx.（2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：)2(34xy令0y得2x即M点的坐标为)0,2(又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为)1,0(，半径1r，则5MC∴15rMCMN（5）直线参数方程中的参数的几何意义例5、已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角6，①写出直线l的参数方程;②设l与圆422yx相交与两点,AB，求点P到,AB两点的距离之积.解（1）直线的参数方程为1cos61sin6xtyt，即312112xtyt．（2）把直线312112xtyt代入422yx，得22231(1)(1)4,(31)2022tttt，122tt，则点P到,AB两点的距离之积为2．练习1、求直线415315xtyt（为参数t）被曲线2cos()4所截的弦长.解：将方程415315xtyt，2cos()4分别化为普通方程：3410xy，220,xyxy2172.105dd211211圆心C（，－），半径为圆心到直线的距离＝，弦长＝2r2222100（6）、参数方程与极坐标的简单应用参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.例6、已知ABC的三个顶点的极坐标分别为5543623ABC，，，，，,判断三角形ABC的三角形的形状，并计算其面积.分析：判断△ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.解析：如图，对于55366AOBBOCAOC，，，又5,43OAOBOC，由余弦定理得：2222cosACOAOCOAOCAOC2255432543cos6BAOxC133，133AC，133BC同理，，ACBC，ABC为等腰三角形，5ABOAOB又，所以AB边上的高22113322hACAB,11336535224ABCS练习1、如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°（O，P，A按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程.解析：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线5x的极坐标方程为cos5，设A（0，0），P,，因点A在直线cos5上，00cos51OPA为等腰三角形，且0120OPAOPOA，而，，以及30POA003302，且，把2代入1，得点P的轨迹的极坐标方程为：3cos305.Ⅲ趁热打铁1．把方程1xy化为以t参数的参数方程是（）A．1212xtytB．sin1sinxtytC．cos1cosxtytD．tan1tanxtyt解析：D1xy，x取非零