高考数学大一轮复习课件高考微专题十一-离心率求解技巧

微专题十一离心率求解技巧椭圆和双曲线的离心率问题是高考的一个高频考点,求解时有一些技巧,下面给予总结.技巧一求出a,c后求离心率的值【例1】已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()思路点拨:求出当m取最大值时点P的坐标,根据定义求出a值.(A)512(B)212(C)2+1(D)5-1解析:根据抛物线方程,得A(0,-1),B(0,1).设P(x,y),则m=PAPB=222211xyxy=224141yyyy=226121yyyy=24121yyy=4112yy≤4122=2.等号当且仅当y=1时取得,此时x2=4,x=±2,根据对称性取点P(2,1),根据双曲线定义|PA|-|PB|=2a,即22-2=2a,所以a=2-1,又c=1,所以e=ca=121=2+1.故选C.反思归纳在能够直接求出椭圆、双曲线中的a,c值时,直接求出再根据离心率的定义求得离心率,这是求椭圆、双曲线离心率最直接的方法.技巧二求出a,c之间的等量关系后求离心率的值【例2】导学号49612232过双曲线2222xyab=1(a0,b0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若A,B,C三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为()(A)3(B)5(C)10(D)13解析:双曲线渐近线方程为y=bax,与直线y=-(x-a)联立.由-bax=-x+a,得x=2aab;由bax=-x+a,得x=2aab.根据题意,若222aaaabab,得a(a-b)=(a+b)2,此式不可能;若2aab·a=22aab,则a(a+b)=(a-b)2,解得b=3a.双曲线的离心率e=21ba=10.故选C.【例3】已知椭圆2222xyab=1(ab0)的左焦点F1,右顶点A,上顶点为B.若∠F1BA=90°,则椭圆的离心率是()(A)512(B)312(C)32(D)12思路点拨:利用∠F1BA=90°得出关于a,b,c的方程,消掉b,得出a,c的齐次方程,方程两端除以a2得出关于e的一元二次方程,解方程即得.解析:根据已知得-ba×bc=-1,即b2=ac,由此得c2+ac-a2=0,即2ca+ca-1=0,即e2+e-1=0,解得e=152(舍去负值).故选A.反思归纳当能够把已知条件转化为关于a,c的齐次方程时,通过把方程两端除以a的某个方幂(齐次方程的次数)即可得出关于e的方程,解方程得出离心率,但要注意离心率本身的范围.技巧三建立关于a,c的不等关系确定离心率的范围【例4】已知双曲线2222xyab=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),P为双曲线上任一点,且12PFPF最小值的取值范围是2231,42cc,则该双曲线的离心率的取值范围为()(A)(1,2](B)[2,2](C)(1,2](D)[2,+∞)解析:设P(x0,y0),则12PFPF=(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=20x-c2+20y=a22021yb-c2+20y=2202cyb+a2-c2,上式当y0=0时取得最小值a2-c2,根据已知-34c2≤a2-c2≤-12c2,即12c≤a≤22c,即2≤ca≤2,所以所求离心率的取值范围是[2,2].故选B.【例5】导学号49612233已知点F是双曲线2222xyab=1(a0,b0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是()(A)(1,+∞)(B)(1,2)(C)(1,1+2)(D)(2,1+2)思路点拨:△ABE是锐角三角形,只要∠AEB为锐角即可,据此建立a,b,c的不等式,消掉b得出关于a,c的不等式,再转化为关于e的不等式,解不等式得出所求范围.解析:根据对称性,只要∠AEFπ4即可.直线AB:x=-c,代入双曲线方程得y2=42ba,取点2,bAca,则|AF|=2ba,|EF|=a+c,只要|AF||EF|就能使∠AEFπ4,即2baa+c,即b2a2+ac,即c2-ac-2a20,即e2-e-20,即-1e2,又e1,故1e2.故选B.反思归纳如果建立的关于a,c的不等式中各项的次数相同,即可以把其化为关于离心率e的不等式,解不等式得出离心率的范围,要注意椭圆、双曲线离心率本身的范围.技巧四用圆锥曲线定义解离心率问题【例6】如图所示,F1,F2是双曲线2222xyab=1(a0,b0)的两个焦点,以坐标原点O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A,B,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为()(A)2+1(B)3+1(C)212(D)312反思归纳圆锥曲线的离心率与定义之间关系密切,解题时要善于把圆锥曲线上的点与两个焦点联系起来,利用圆锥曲线定义确定a,c之间的数量关系.思路点拨:连接AF1,△AF1F2中进行相关计算,根据双曲线定义得出a,c之间的数量关系后,根据离心率定义解之.解析:连接AF1,(图略),△AF1F2是有一个锐角为30°的直角三角形,则|AF1|=c,|AF2|=3c,根据双曲线定义|AF2|-|AF1|=2a,即3c-c=2a,所以e=ca=231=3+1.故选B.技巧五在焦点三角形中使用正、余弦定理解决离心率问题【例7】导学号49612234已知椭圆2222xyab=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点P使12sinaPFF=21sincPFF,则该椭圆的离心率的取值范围为.思路点拨:在△PF1F2中,使用正弦定理建立|PF1|,|PF2|之间的数量关系,再结合椭圆定义求出|PF2|,利用a-c|PF2|a+c建立不等式确定所求范围.解析:根据已知条件∠PF1F2,∠PF2F1都不能等于0,即点P不会是椭圆的左、右顶点,故P,F1,F2构成三角形,在△PF1F2中,由正弦定理得212sinPFPFF=121sinPFPFF,则由已知,得2aPF=1cPF,即|PF1|=ca|PF2|,①根据椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a.②由①②解得,|PF2|=21aca=22aac,因为a-c|PF2|a+c,所以a-c22aaca+c,即b22a2a2+2ac+c2,所以c2+2ac-a20,即e2+2e-10,解得e-2-1或e2-1,又e∈(0,1),故椭圆的离心率e∈(2-1,1).答案:(2-1,1)团Tiffany，a16yearoldgirl，wasveryshy.LastSeptember，herbestfrien“IwasreallysadthemomentIheardthebadnewsandIdidn'tknowwhattodo，”Tiffanyrecalled.“Ishutmyselfinmyroomforawholeweek.ItwasthenthatmyaunttookmetoasportscluboneSaturdayandIsawsomanyyoungpeopleplayingdifferentkindsofsportsthere.Isignedupforabeginner'scourseinvolleyballandsincethenIhavebeenplayingthissport.NowIpracticetwiceaweekthere.ItiswonderfulplayingsportsinthisclubandIhavemadelotsoffriendsaswell.2”Themostbasicaimofplayingsportsisthatyoucanimproveyourhealthevenifyouarenotverygoodatsports.Besides，youcangettoknowacircleofpeopleatyouragewhileplayingsports.3Sinceshejoinedthesportsclub，sIgotusedtothelifehere.AndnowIknowlotsof(5)_________here.Forexample,whenImeetmyfriendonthestreet,Iusually(6)_________himlikethis,“Hey,whereareyougoing?”Inourcountryifsomeoneasksthis,peoplemayget(7)_________butinthiscountrypeoplewon't.Ofcourse,therearesomeotherinterestingthingshere.I'lltellyouaboutthemnexttime.hehasopenedupherselfandnowshehasbecomeveryactiveandenjoysmeetingandtalkingwithothers.1．It'spoliteforgirlstokisseachotheronthesideoftheface.salsobecomemoreconfident.团圆圆一家在台湾可受欢迎了。每天，小朋友们排着长队，等着跟它们合影留念。从“排着长队”体现出每天喜欢它们的人不计其数，特别受选D.A.根据同类项合并法则,与不是同类项,不能合并,故本选项错误;B.根据算术平方根的定义,=3,故本选项错误;C.根据同底数幂的乘法a•a2=a3,故本选项错误;D.根据积的乘方,(2a3)2=4a6,故本选项正确.欢迎。从“合影留念”体现出大家都想和大熊猫留住最美丽的瞬间以作纪念。Nothingcanbeaccomplishedwithoutnormsorstandards.精品资料！感谢阅读下载！