当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 资本运营 > 江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.1小题考法—解析几何中的基本问题讲义
专题三解析几何[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点1.直线与圆、圆与圆的位置关系(5年4考)2.圆锥曲线的方程及几何性质(5年5考)主要考查直线与椭圆(如2014年、2015年、2017年、2018年)的位置关系、弦长问题、面积问题等;有时也考查直线与圆(如2016年),常与向量结合在一起命题.偶考点直线的方程、圆的方程第一讲小题考法——解析几何中的基本问题考点(一)直线、圆的方程主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.[题组练透]1.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,则直线l的方程为____________.解析:由题意知直线l与直线PQ垂直,所以kl=-1kPQ=1.又直线l经过PQ的中点(2,3),所以直线l的方程为y-3=x-2,即x-y+1=0.答案:x-y+1=02.(2018·南通一模)已知圆C过点(2,3),且与直线x-3y+3=0相切于点(0,3),则圆C的方程为____________.解析:设圆心为(a,b),则b-3a·33=-1,a-2+()b-32=a2+b-32,解得a=1,b=0,r=2.即所求圆的方程为(x-1)2+y2=4.答案:(x-1)2+y2=43.(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy中,若动圆C上的点都在不等式组x≤3,x-3y+3≥0x+3y+3≥0,表示的平面区域内,则面积最大的圆C的标准方程为____________.解析:作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,面积最大的圆C即为可行域三角形的内切圆.由对称性可知,圆C的圆心在x轴上,设半径为r,则圆心C(3-r,0),且它与直线x-3y+3=0相切,所以|3-r+3|1+3=r,解得r=2,所以面积最大的圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.答案:(x-1)2+y2=4[方法技巧]1.求直线方程的两种方法直接法选用恰当的直线方程的形式,由题设条件直接求出方程中系数,写出结果待定系数法先由直线满足的一个条件设出直线方程,使方程中含有待定系数,再由题设条件构建方程,求出待定系数2.圆的方程的两种求法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数,从而求得圆的方程考点(二)直线与圆、圆与圆的位置关系主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系,以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.[典例感悟][典例](1)(2018·无锡期末)过圆x2+y2=16内一点P(-2,3)作两条相互垂直的弦AB和CD,且AB=CD,则四边形ACBD的面积为________.(2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-4,0),B(0,4),从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC,PD,切点分别为C,D.设线段CD的中点为M,则线段AM长的最大值为________.[解析](1)设O到AB的距离为d1,O到CD的距离为d2,则由垂径定理可得d21=r2-AB22,d22=r2-CD22,由于AB=CD,故d1=d2,且d1=d2=22OP=262,所以AB22=r2-d21=16-132=192,得AB=38,从而四边形ACBD的面积为S=12AB×CD=12×38×38=19.(2)法一:(几何法)因为直线AB的方程为y=x+4,所以可设P(a,a+4),C(x1,y1),D(x2,y2),所以PC的方程为x1x+y1y=4,PD的方程为x2x+y2y=4,将P(a,a+4)分别代入PC,PD的方程,得ax1+a+y1=4,ax2+a+y2=4,则直线CD的方程为ax+(a+4)y=4,即a(x+y)=4-4y,所以直线CD过定点N(-1,1),又因为OM⊥CD,所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点).又因为以ON为直径的圆的方程为x+122+y-122=12,所以AM的最大值为-4+122+122+22=32.法二:(参数法)因为直线AB的方程为y=x+4,所以可设P(a,a+4),同法一可知直线CD的方程为ax+(a+4)y=4,即a(x+y)=4-4y,得a=4-4yx+y.又因为O,P,M三点共线,所以ay-(a+4)x=0,得a=4xy-x.因为a=4-4yx+y=4xy-x,所以点M的轨迹方程为x+122+y-122=12(除去原点),所以AM的最大值为-4+122+122+22=32.[答案](1)19(2)32[方法技巧]解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.(2)解决直线与圆相关的最值问题:一是利用几何性质,如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值;二是建立函数或利用基本不等式求解.(3)对于直线与圆中的存在性问题,可以利用所给几何条件和等式,得出动点轨迹,转化为直线与圆、圆与圆的位置关系.[演练冲关]1.已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l:x+y-6=0,A为直线l上一点,若圆M上存在两点B,C,使得∠BAC=60°,则点A的横坐标的取值范围是________.解析:由题意知,直线l与圆M相离,所以点A在圆M外.设AP,AQ分别与圆M相切于点P,Q,则∠PAQ≥∠BAC=60°,从而∠MAQ≥30°.因为MQ=2,所以MA≤4.设A(x0,6-x0),则MA2=(x0-1)2+(6-x0-1)2≤16,解得1≤x0≤5.答案:[1,5]2.(2018·苏北四市期末)在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:x2+(y-1)2=r2(r0)上存在点P,且点P关于直线x-y=0的对称点Q在圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,则r的取值范围是________.解析:设圆C1上存在点P(x0,y0)满足题意,点P关于直线x-y=0的对称点Q(y0,x0),则x20+y0-2=r2,y0-2+x0-2=1,故只需圆x2+(y-1)2=r2与圆(x-1)2+(y-2)2=1有交点即可,所以|r-1|≤-2+-2≤r+1,解得2-1≤r≤2+1.答案:[2-1,2+1]3.在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,0)在圆C:x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点,若△ABC的面积的最大值为16,则实数m的取值范围为________.解析:圆C的标准方程为(x-m)2+(y-2)2=32,圆心为C(m,2),半径为42,当△ABC的面积的最大值为16时,∠ACB=90°,此时C到AB的距离为4,所以4≤CP<42,即16≤(m-3)2+(0-2)2<32,解得23≤|m-3|<27,即m∈(3-27,3-23]∪[3+23,3+27).答案:(3-27,3-23]∪[3+23,3+27)4.(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy中,已知A,B为圆C:(x+4)2+(y-a)2=16上的两个动点,且AB=211.若直线l:y=2x上存在唯一的一个点P,使得PA―→+PB―→=OC―→,则实数a的值为________.解析:法一:设AB的中点为M(x0,y0),P(x,y),则由AB=211,得CM=16-11=5,即点M的轨迹为(x0+4)2+(y0-a)2=5.又因为PA―→+PB―→=OC―→,所以PM―→=12OC―→,即(x0-x,y0-y)=-2,a2,从而x0=x-2,y0=y+a2,则动点P的轨迹方程为(x+2)2+y-a22=5,又因为直线l上存在唯一的一个点P,所以直线l和动点P的轨迹(圆)相切,则-4-a222+-2=5,解得a=2或a=-18.法二:由题意,圆心C到直线AB的距离d=16-11=5,则AB中点M的轨迹方程为(x+4)2+(y-a)2=5.由PA―→+PB―→=OC―→,得2PM―→=OC―→,所以PM―→∥OC―→.如图,连结CM并延长交l于点N,则CN=2CM=25.故问题转化为直线l上存在唯一的一个点N,使得CN=25,所以点C到直线l的距离为--a|22+-2=25,解得a=2或a=-18.答案:2或-18考点(三)圆锥曲线的方程及几何性质主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及几何性质,在小题中以考查椭圆和双曲线的几何性质为主.[题组练透]1.(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中,已知F为抛物线y2=8x的焦点,则点F到双曲线x216-y29=1的渐近线的距离为________.解析:抛物线的焦点F(2,0),双曲线的渐近线方程为y=±34x,不妨取y=34x,即3x-4y=0,所以焦点F到渐近线的距离为|6|32+-2=65.答案:652.(2018·苏北四市期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A,B1,B2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右、下、上顶点,F是椭圆C的右焦点.若B2F⊥AB1,则椭圆C的离心率是________.解析:由题意得,A(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),F(c,0),所以B2F―→=(c,-b),AB1―→=(-a,-b),因为B2F⊥AB1,所以B2F―→·AB1―→=0,即b2=ac,所以c2+ac-a2=0,e2+e-1=0,又椭圆的离心率e∈(0,1),所以e=5-12.答案:5-123.(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x23-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是________.解析:由题意得,双曲线的右准线x=32与两条渐近线y=±33x的交点坐标为32,±32.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,则F1(-2,0),F2(2,0),故四边形F1PF2Q的面积是12|F1F2|·|PQ|=12×4×3=23.答案:234.(2018·常州期末)在平面直角坐标系xOy中,设直线l:x+y+1=0与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧,则双曲线C的离心率e的取值范围是________.解析:双曲线的渐近线分别为y=bax,y=-bax,依题意有-ba-1,即ba,e=ca=c2a2=a2+b2a22.又因为e1,所以e的取值范围是(1,2).答案:(1,2)[方法技巧]应用圆锥曲线的性质的两个注意点(1)明确圆锥曲线中a,b,c,e各量之间的关系是求解问题的关键.(2)在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出c和a的值,而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点,建立关于参数c,a,b的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.[必备知能·自主补缺](一)主干知识要记牢1.直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系(1)平行⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0;(2)重合⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0;(3)相交⇔A1B2-A2B1≠0;(4)垂直⇔A1A2+B1B2=0.2.直线与圆相交(1)几何法由弦心距d、半径r和弦长的一半构成直角三角形,计算弦长|AB|=2r2-d2.(2)代数法设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,M(x1,y1),N(x2,y2),将直线方程代入圆方程中,消去y得关于x的一元二次方程,求出x1+x2和x1·x2,则|MN|=1+k2·x1+x22-4x1·x2.3.判断两圆位置关系时常用几何法即通过判断两圆心距离O1O2与两圆半径R,r(Rr)的关系来判断两圆位置关系.(1)外离:O1O2R+r;(2)外
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