动量算符及角动量算符的球坐标表示

在原子物理学和量子力学的教学中都会遇到动量算符，其表达形式,它是量子力学中的一个基本算符。它的的直角坐标系下的形式为，各分量是大家都熟悉的，学生们也没有疑惑，但是对于在球坐标下的动量算符整体形式和动量各分量的算符形式就产生了疑惑，而一般的量子力学教材[1~3]对此也没有过多说明，本文试图从在量子力学中表示力学量的算符必须是厄密算符的要求出发解决这一疑惑。1.直角坐标系中动量及其各分量的算符表示动量算符在直角坐标系下的表示为，对应的动量各分量的算符表示为，教学中使用比较多，结果也比较直接，一般学生没有疑惑。2.球坐标系下动量及其各分量的算符表示2.1球面坐标动量的算符表示众所周知球面坐标与直角坐标的关系由此我们可得[1]我们通过直角坐标系可用表示出在球面坐标系下的形式：我们把上面的结果代入下式中，可以得到在球坐标系下，动量整体的算符表示这样从直角坐标系演变而来，学生易于接受。2.2动量各分量的算符表示2.2.1和不是厄密算符，不能作为动量的分量和的算符表示一个算符F满足，才是厄密算符。量子力学中表示力学量的算符必须是厄密的，而动量分量显然是力学量，所以表示动量分量的算符必须是厄密算符。但是和都不是厄密算符，所以都不能作为动量分量的算符表示。我们知道，对任意波函数有，所以有即得同理得由此我们可以求得所以不是厄米算符。至于，我们也可以证明不是厄米算符。由于可知=根据坐标和动量的对易关系我们可以求得：球坐标系的动量算符p=-inVa,ai5=-itt(i—+J—+k—,a)Bx函Bzaa九=-in—，凡=-iii—,祁彻a仇=-in.—az8.18I8.i5=-in(—e+-—乌＋—e)8r'r扮rsin08cp•^^^P,,Pa,P叩a,a,ai5=-itz(t—+J—+k—)ax初aza,aa龙=-in—=-in—,ft,=-m—ox,Py匈ozx=rsin8cosp,y=rsin8sinp,z=rcos8r=扛+y2+z2,t的=2:'.,cos8=-=-=zxr)x'+y2+z'i3araaei3J(Jlaa1asin(Jla—=——+——+——=sinesin(Jl—+-cosecos(Jl—-—函oxor岔oeOXO(J)orr汾rsin0o(Jlooro汾oOlpooIoCOS(Jlo—=——+——+——=sinesin(Jl—+-cosesin(Jl—+—彻匈ar函ae匈匈arr茂rsin0o(Jlaara汾a8qJ8asinea—=——+——+——=cos0—-—azazarazaeazJ(Jlarraeap=-ihV=-iii(—ar6-801-rB-in—祈仓三+-»(立H二十二仓e。ar'r汾8rsin08q中）iii1ar汾P,p。F+=Fi3r-;tz—=—•porr［气X]'¥=气'¥-仇（王'¥)=;t,z'~y''¥rrrr2y)2+ry23Xt+ri2zih”』^pZ-r=--x=Z-r^p,二^pX-r--(-i飞］＝尸a-in—or18-in——rae22yy33+r+r22zxhhii--xy^P^pX-ry-r=__X-rY-ryx^p^p,+=(分，五于］=p,~+p)'~+p,~=U正~p,+~p,)-竺=(?•6J-琴=-in詹－竺a*-in—are,p^K,^.l),^.la-iii—祈0,cpeosgso。coo.g.gif\=、J^,l^,J^K,\cos0coscpcos0sincp-sin0一二rn-inl8rae乌=icosecosp+jcosesinp一ksine-iii丿立=e0•p=Vcos0cosp+Jcos0sinp-ksin叽(p)十九丿＾^r汾＋仇k)P=-ihv'=-in(立；十二＋立k)=-in(~函ByozOX6-ay＼丿^．l^·丿＾K(\、、／立ozzx户,cos0cosp+p,cos0sinp-f,,sin0=zy,勹＾）九+Py-r,{x亡了，石言了rP,。所以的共轭是==故不是厄米算符。2.2.2构造动量分量，的算符在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，定义为或，过渡到量子力学，由于和不对易，为了保证径向动量算符是厄密算符我们可以取这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。同理，可以构造。它也满足厄密性的要求。2.2.3是厄米算符，可以作为的算符表示由坐标变换得=。===所以我们得是厄米算符，即是动量分量的算符表示。总上我们得，动量算符在球面坐标系中的各分量为，，。3.从动能算符看动量算符上面的结果可以从动能算符的形式能看出。对于动能算符在球面坐系中的形式，我们都知道为=而不是因为，很显然动量算符的分量，而分量形式为。4.结论在量子力学的基本假设中，指出量子力学中表示力学量的算符都是厄米符。由于和不是厄米算符，所以它们不能表示动量的分量算符。所以动量算符在球面坐标系中的各分量为，，。zxzx九＝(y'+z'y'王）Z｀尸龙-inr'~'+y于丸zyzy=rj;言了r~九-in~2+z2x2-y2)zr'~'+y于丸~~.zj;言了=p,+ili3rrr［卢ftx-mV+了J+(VvPy-in07JyxIa-Px+?见=e中•p=-in———厂汇+y-rsineop一in1arsineop沁in1araa6巾仇=-in—-—orr1a1九=-in-—-inr汾2rt的(-in;a~J=(e0•6J=九红十pzy＾＄勹r~'rP勹了-p,r九=-in1arsin08cpzx龙-ifi0,'+z沪-x')+zy见-ifi~2+z2x2-y2)zr扫勹了户~'+y于r扫勹了r飞+y'fi尸了p,+i1i2~勹(,\.p)-iiirt的＾矿－矿T=—=v'2m2m-h2(8'+3_8+I8sine8+I8')2m矿r8rr2sin0吩80r2sin208矿1a11a一in-—-in土一in-—raert的rae1a一in——raeP,p。•ti'a21a'1a'T=-斗了；如勹,sin,。已户丘二2mm(p,+p。+P,)rp,=—•prr,0a1a仇*-in—,P。*-in-—8rr汾O'rP,=p•一rp^r九＝－访l8rsin08p仇＝早•6+6•_i:_)=-itz立＿竺2rrarr-in0or-in~!II8I九＝—他•p+p•e。)=-in.-—-in.2r802rt的6巾仇=-itz—-—Orr-inIarsin0acpp~I81九=-in-—-inr汾2rtg0p~=-iii1arsin0acp^'.'•e=-ismp+jcosp18,,.,-in—rsin0匈=e0•p=~ismp+jcospX九＋斻＋姊）(-inrs~0at-r寸Xs吓+ft,,cosp=-y九+X九二厂-pxy+pyX尸石球坐标系的角动量算符一、通常的推导方法一般教材(1)中角动匮打．符L=RXP的球坐标表示是这祥推导的，｀由直角坐标表达式l置＝兑－迅一一ih(y亡-z印L,=动-xP.=-ift(z立一工立）a工az(1)·ai息＝工凡�y?,=-ih(x---aayy)釭l=归＋幻＋归=-h'((y主＿之主）＇＋（乒-x且)•+(工，立＿立2立ay釭azzay心）及直角坐标与球坐标的关系（见图）1工=.rsi戒casrp·.l.y=rsin8si呼上1l古z=rcos8r•...x•+y•+z•zco.,O=-rtgp=-y:,;(2)vlararara&.a&动ap呼已经过求得一一.....---．．．一axaya乙axazaxayaz一代大(1ay）式，才能得到通常的角动世弈符a·aLz=ih(sinrp-+ctgfJcosrp一）aOa中｀Laa,=-ih(cos环jo.-crgfJsinrp-)呼al拿一一ih一守1aa，l'=-h'(-一(sin8一）十l.asinfJ动动芍子）(3)、··亡｀,·．一，一，二、求单位矢量间的关系如前扭，空间点P在球坐标系(r,O,心中的三个单位矢址，[l'沿矢径方向，O·与过P-点的径线相切指...,.'r-�i...•左向O增加的方向J'fl与过P点的纬线相切，指向'P的增加方向,r·8叩开纽贮行手的正交坐标系．我们把这组单位矢批(r·O叩．）用直角坐标单位矢世(ijk表达出来（由前图）r·=sin8cosrpi+sin8sinrpj+C0$8k,._;·1•-•+于-rodiro石+,w知..;一.叶｝o`d。so.odc。.se104。j0cn·.11S,0乡0-ssc;?+Od。no.Ids++;01r呼用1r可10＿.Is-l­一面一＿＿后－r－0;丫ddd．-0,分微x．;r的l、丿．．-e.1?10}r（出求可、丿4（由夕三、推导角动量算符的球坐标表示我们知道在球坐标中'v.,.ra·-+fJ·--1a-1a十p·一－、arraO·rstnOap在世子力学中，动匮打符P=一ih'v这样角动扭环符表示为l-=;-xf,=-盼X'v--ihr�-.�(;·fr+乌志＋五扫古r.�.rr·(,:I)(5)(6)=-ih(-三式；十;.古�--代入(1),表示成直角坐标系中的(ijk)方向1al=一ihC-(cosOcos听十cos8sinpj-sin8k)•一－＋（一由叩+co叨）a一）sin{}apa8aaaa）a=ih((i(ctgOcos'j'一十sin'j'一）+j(ctgOsin'I'一一一一k一）笱，动a'f'COS'f'动呼这样就得到了CL.工，L.)的球坐标表示式aaL,:=iii(sin!p-十ctgfJcos!p一）afJ呼•aeL,一一ih(costp一一ctgfJsin!p一）afJatpaL.一一ih一arp四、推出球坐标中C'的表示式由(5)可知--aO·-a8·一-=-r·-=动＇cos旰·砰、J--aq,·aq,·--.—=o,—-=-sinOr·-cos(){}·动砰(7)(8).)\..,由(6),(7),(8)可得到L=一ih户X'v)•(-ih户X'v)--1aa-1a-ah'(8·-+rp·一）（一8·--+rp·一）=—sin8arp动sin8arpa8=-h'cn·;妇沪立岁＋－（－气扫古一（一心（三兰五，牙气(1a'-1---h'---8·一一（一sinOr·-cos88·)一＋－归0ar/sinO动a8'J=-h'(上立十竺旦十立sin'8arfsin8动动.J=-h'(1a(sinOa+1asin8a8a8sin'压j+1[勹几Hzo(A1e1)十几Hzo(A中）十几Hzo(A3e3)H几H3oq3H3切H3初3H3切3)](10-62)注意到，式(10-62)中e1心和e3要参与导数。6.圆柱坐标系和球坐标系圆柱坐标系和球坐标系是最重要的两种正交曲线坐标系。具体讨论如下：Casel圆柱坐标系Vu=迦eapp十上迦e+鸟pacp'Paz·v·A=1-[a因十a(A中）+a因Pap切az](10-63)(10-64)VXA=(巨汇扒'P)ep+(aAP卫生）e+上(a心—aAPpacpazazap中）e之Pap切也可简写成VXA=乌p斗1aapapapAPpA'PezaazAZV2u=¾[嘉伈尽）＋嘉(¾尽）＋嘉忔震）］(10-65)(10-66)(10-67)v2A=(v飞-;z一?a�)e广(v2A厂，+j�伈+V2A,,e,Case2球坐标系V•入＝Vu=1心动[si动c)ulou�lou—e—一—?orr＋r劝e。十rsi动ocp'Pac产A,)+ra(si过叭。）+roA中砑初acp]VXA=上[o(s酗中）一：也已［上aA,_acr.儿）e。rs呻初切rs啤opar]二[acr.儿）—oA,ror动J凸(10-68)(10-69)(10-70)(10-71)_—一—一也可简写成VXA=2r1a产si动arArre。rsi动幻aa动acprA。rsin8A'P(10-72)V2u=心心气r仁婴）+�(si动骂）＋盂贮］(10-73)v主(v飞－马_2c气s0儿—