【人教A版数学】2012版大一轮复习-2.7 函数与方程

§2.7函数与方程基础知识自主学习要点梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有.f(x)＝0x轴零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是f(x)＝0的根．f(a)·f(b)0(a，b)f(c)＝0c2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点，无交点零点个数(x1,0)(x2,0)(x1,0)两个一个无3.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)0一分为二零点[难点正本疑点清源]1．函数的零点不是点函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．零点存在性定理的条件是充分而不必要条件若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c就是方程f(x)＝0的根．这就是零点存在性定理．满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．基础自测1．根据下面表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为__________.x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345(1,2)2．若函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析设函数y＝ax(a0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a0，且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交点，由图象可知当0a1时两函数只有一个交点，不符合；如图所示，当a1时，因为函数y＝ax(a1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a1.a13．函数f(x)＝ex＋2x－6(e≈2.718)的零点属于区间(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝________.解析可以估算两个相邻自然数的函数值，f(1)＝e－40，f(2)＝e2－20，从而可知函数f(x)的零点位于区间(1,2)内，故n＝1.14．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点为2，则g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0,2B．0，12C．0，－12D．2，－12解析由f(2)＝2a＋b＝0，得b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．令g(x)＝0，得x＝0，x＝－12，∴g(x)的零点为0，－12.C5．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则()A．abcB．acbC．bacD．cab解析由于f(－1)＝12－1＝－120，f(0)＝10，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．∵g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；h12＝－1＋12＝－120，h(1)＝10，故h(x)的零点c∈12，1，因此acb.点评本题的易错点是，学生误以需求出a、b、c其实a和c只需限定区间即可．B题型分类深度剖析题型一判断函数在给定区间上零点的存在性例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．思维启迪第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解．解(1)方法一∵f(1)＝12－3×1－18＝－200，f(8)＝82－3×8－18＝220，∴f(1)·f(8)0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．方法二令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]．∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．(2)方法一∵f(1)＝log23－1log22－1＝0，f(3)＝log25－3log28－3＝0，∴f(1)·f(3)0，故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．方法二设y＝log2(x＋2)，y＝x，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1≤x≤3时，两图象有一个交点，因此f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．探究提高函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．变式训练1判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x3＋1，x∈R；(2)f(x)＝1x－x，x∈(0,1)．解(1)∵f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，令f(x)＝0，即(x＋1)(x2－x＋1)＝0，∴x＝－1，∴f(x)＝x3＋1，x∈R有零点－1.(2)方法一令f(x)＝0，得1x－x＝0，1－x2x＝0，∴x＝±1,而±1∉(0,1)，∴f(x)＝1x－x，x∈(0,1)不存在零点．方法二令y＝1x，y＝x，在同一平面直角坐标系中，作出它们的图象，从图中可以看出当0x1时，两图象没有交点．故f(x)＝1x－x，x∈(0,1)没有零点．题型二函数零点个数的判断例2若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()A．多于4个B．4个C．3个D．2个思维启迪函数零点的个数⇔方程解的个数⇔函数y＝f(x)与y＝log3|x|的交点的个数．解析在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．答案B探究提高判断函数零点的个数，通常可用数形结合法，直接求解法．这类题目是高考的常考题目，望同学们能够灵活处理．变式训练2(2010·福建)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0解析当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2.B题型三二次函数的零点分布问题例3已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．思维启迪设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制．解(1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得f0＝2m＋10，f－1＝20，f1＝4m＋20，f2＝6m＋50.⇒m－12，m∈R，m－12，m－56.即－56m－12.(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示列不等式组f00，f10，Δ≥0，0－m1.⇒m－12，m－12，m≥1＋2或m≤1－2，－1m0.即－12m≤1－2.探究提高本题重点考查方程的根的分布问题，熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解此题的关键．用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的易错点．变式训练3是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．解∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)0，∴若存在实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－15或a≥1.检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0.得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.②当f(3)＝0时，a＝－15，此时f(x)＝x2－135x－65，令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，解之得x＝－25或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a－15或a1.易错警示4．分类讨论不周全致误试题：(12分)已知函数f(x)＝|x|x＋2，如果关于x的方程f(x)＝kx2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．学生解答展示解：22||2||)(kxxxxxxf原方程有两个解时或当012210,04240122,22,20)1(kxkxkkkkkxkxkxxxxx时且当审题视角①f(x)＝kx2的解⇔|x|x＋2＝kx2的解．②方程有四个不同的解，可考虑分为有正解、负解和零解．③在有正解、负解、零解的情况下，分别考虑k的取值情况．2222(2)0,2210440.10210(,1)(1,)xxkxxkxkxkkkkkxkxk时当时两个当当或有解规范解答解∵f(x)＝|x|x＋2，∴原方程即|x|x＋2＝kx2.(*)①x＝0恒为方程(*)的一个解．[1分]②当x0且x≠－2时，若方程(*)有解，则－xx＋2＝kx2，kx2＋2kx＋1＝0.当k＝0时，方程kx2＋2kx＋1＝0无解；[2分]当k≠0时，Δ＝4k2－4k≥0，即k0或k≥1时，方程kx2＋2kx＋1＝0有解．[3分]设方程kx2＋2kx＋1＝0的两个根分别是x1、x2，则x1＋x2＝－2，x1x2＝1k.当k1时，方程kx2＋2kx＋1＝0有两个不等的负根；[4分]当k＝1时，方程kx2＋2kx＋1＝0有两个相等的负根；[5分]当k0时，方程kx2＋2kx＋1＝0有一个负根．[6分]③当x0时，若方程(*)有解，则xx＋2＝kx2，kx2＋2kx－1＝0.当k＝0时，方程kx2＋2kx－1＝0无解；[7分]当k≠0时，Δ＝4k2＋4k≥0，即k≤－1或k0时，方程kx2＋2kx－1＝0有解．[8分]设方程kx2＋2kx－1＝0的两个根分别是x3、x4，则x3＋x4＝－2，x3x4＝－1k.当k0时，方程kx2＋2kx－1＝0有一个正根；[9分]当k≤－1时，方程kx2＋2kx－1＝0没有正根．[10分]综上可得，当k∈(1，＋∞)时，方程f(x)＝kx2有四个不同的实数解．[12分]批阅笔记(1)解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．(2)本题的易错点主要是分类讨论不周全，导致解析不完整或解答错误．表现在两个方面：①不对x分类讨论或漏掉x＝0的情况．由于方程中含有绝对值，一般从去绝对值的角度要对x进行分类讨论，若直接平方去绝对值，则解题将无