平面向量坐标运算

ξ10向量的数量积.平移一．知识精讲1．数量积的概念（1）向量的夹角：如图，已知两个向量a和b，使OA=a,OBb。则)1800(AOB叫做响亮a与b的夹角，记为a,b（2）数量积的定义：已知两向量a,b的夹角为，则数量cosba叫做a与b的数量积，记为cosbaba（3）数量积的集合意义：数量积ba等于a的模与b在a方向上的投影cosb的乘积2．数量积的性质：设e是单位向量。ba,(1)cosaeaae(2)a与b同向时，baba；a与b反向的时候baba。0ba（3）2aaa或2aa（4）babacos（5）baba3．运算律：（1）abba(交换律)（2）)()()(bababa(与实数的集合律)（3）cabacba)(（乘法对加法的分配律）没有结合律，可见向量的数量积完全遵循多项式运算法则4．向量数量积的坐标运算。设),().,(2211yxbyxa，则：（1）2121yyxxba（2）2121yxa（3）21212121cosyxyyxx（4）02121yyxxba5．两点间的距离公式：设A),(),,(2211yxByx，则221221)()(yyxxAB平移公式描述的是平移前的点与平移后的对应点坐标与平移向量的坐标之间的关系。平移前的点),(yxP平移后的对应点,P),(,,yx，平移向量的坐标),(kha则kyyhxx,,二．基础知识1.若)7,4(),3,2(ba，则a在b方向的投影为（）A3B513C565D652．已知12,10ba，且36)()3(51ba，则a与b的夹角为（）Ａ60Ｂ120Ｃ135Ｄ1503.设cba,,是任意的非零平面向量，互相不共线，则下列命题中是真命题的有（）①0)()(baccba②baba③bacacb)()(不与c垂直④29)23()23(ababaＡ①②Ｂ②③Ｃ③④Ｄ②④4．已知点A),2,1(若向量AB与)3,2(a同向，32AB，则点B的坐标为（）5．已知)2,(a，)5,3(b，若向量a与b的夹角为钝角，则的取值范围是（）Ａ310Ｂ310Ｃ310Ｄ3106．已知：函数2)2cos(33xy按向量a平移所的图形解析式为),(xfy当)(xfy奇函数时，向量a可以等于：A)2,(6B)2,(12C（2,6）D)2,(12三．典型例题分析：例1：已知)2,3(),2,1(ba，当k为何值时，（1）)3()babak（2）)(bak)3(ba，平行时是同向还是反向？变式1：已知：平面向量),2(),,2(),4,3(ycxba，且ba，ca，求ab以及b与c的夹角例2：60,,4,6baba，求baba3,变式2：已知ba,都是非零向量，且baba，求a与ba的夹角例3：已知),,(),1,3(2321ba且存在实数k和t，使,,)3(btakybtax且yx，试求ttk2的最小值例4．设函数21)(xxxf，（1）试根据函数xy1的图象，并写出变化过程（2）)(xf的图象是中心对称图形吗？（3）指出)(xf的单调区间变式：将函数123xxy的图象按向量a平移后得到函数xky的图形，求a和实数k例5．将函数1)2sin(237xy的图象，按向量a平移后得到的图象关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出向量a；若不唯一，求出最简向量四．规律总结：1．平面向量的数量积及集合意义是本节的重点，用数量积处理向量垂直问题，向量长度，夹角是难点2．向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，结果是一个数量，所以向量的数量积的坐标表示是纯数量的坐标运算。3．向量a与b的夹角（1）当a与b平移成有公共起点时，两向量所成的角才是夹角（2）1800（3）cosbababa,=222221212121yxyxyyxx4.配方法：待定系数法，代入法是确定平移向量的重要方法五：闯关训练1．若平面向量b与向量a=（1，-2）的夹角是180，且53b，则b（）A（-3，6）B（3，-6）C（6，-3）D（-6，3）2．若向量c垂直与向量a和b，Rubuad,(且)0u，则（）Ac||dBdcCc不平行与d，也不垂直与dD以上情况都有可能3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么ba3（）A7B10C13D44．给出下列命题：①若,022ba则0ba②已知cba,,是三个非零向量，若,0ba则cbca③在三角形ABC中，a=5,b=8,c=7，则20CABC④a与b是共线向量baba其中正确的命题序号是_____________________5．已知aba,3,2与b的夹角为45，求当向量ba与ba的夹角为锐角时，的取值范围。6．如图：以原点O和A)2,5(为两个顶点作等腰直角三角形OAB使90B求点B的坐标和向量AB的坐标。7．已知：平面向量)1,3(a，),(2321b求证：ba（2）若存在不同时为零的实数k和t，使btakybtax,)3(2且yx，试确定函数关系)(tfk（3）根据（2）的结论确定函数)(tfk的单调区间8．已知：cbxaxy2的图象F按)4,2(a平移得到,F，已知A（0，8）在,F上，F与,F的交点是B（),21321，试求F对应的函数解析式。