迈达斯之——静力弹塑性分析基本原理及方法

AnalysisforCivilStructuremidasCivilWeAnalyzeandDesigntheFuture1第8章|非线性分析2WeAnalyzeandDesigntheFuturemidasCivil8-7静力弹塑性分析(Pushover分析)8-7-1概要非线性抗震分析方法可分为非线性静力分析方法和非线性动力分析方法。非线性动力分析方法可以认为是比较准确的方法，但是因为分析时间较长并对技术人员理论水准有较高的要求，所以在实际工程上的普及应用受到了限制。相反静力分析方法虽然在反映结构动力特性方面有所不足，但是因为计算效率较高和操作简单、理论概念清晰等原因被广大设计人员所普遍使用。静力弹塑性分析又被称为Pushover分析，是基于性能的抗震设计（Performance-BasedSeismicDesign,PBSD）中最具代表性的分析方法。所谓基于性能的抗震设计是以某种目标性能（targetperformance）为设计控制目标，而不是单纯的满足规范要求的极限承载能力的设计方法。其步骤是先按照规范要求进行抗震分析和构件设计，然后通过Pushover分析获得结构的极限承载能力，最后通过非线性位移结果评价结构是否满足目标性能要求。目前规范中推荐的基底剪力法和反应谱分析方法均为弹性分析方法，其评价标准是地震作用下的抗力不小于地震作用下产生的内力，这些方法也被称为基于荷载的设计方法。而基于性能的设计方法则是使用与结构损伤直接相关的位移来评价结构的变形能力（耗能能力），所以又被称为基于位移的设计（displacement-baseddesign）方法。通过Pushover分析可得如图2.8.38所示的荷载-位移关系曲线（能力谱），根据结构耗能情况可得到非线性需求谱。能力谱与需求谱的交点就是结构对于地震作用的性能点（performancepoint）。性能点意味着结构对于地震作用所拥有的最大的非线性承载力和最大位移，该点在控制目标性能范围内则表示该结构满足了性能要求。通过非线性分析可以了解结构具有的的极限承载能力和安全度。AnalysisforCivilStructuremidasCivilWeAnalyzeandDesigntheFuture1图2.8.38基于位移设计法的结构抗震性能评价第8章|非线性分析4WeAnalyzeandDesigntheFuturemidasCivil8-7-2分析方法基于性能的抗震分析方法有下列四种：（1）线性静力分析法(LinearStaticProcedure,LSP)（2）线性动力分析法(LinearDynamicProcedure,LDP)（3）非线性静力分析法(NonlinearStaticProcedure,NSP)（4）非线性动力分析法(NonlinearDynamicProcedure,NDP)其中Pushover分析方法属于非线性静力分析法，又被称为塑性铰分析法。该分析方法主要被应用于受高阶振型和动力特性影响较小的结构。Pushover分析步骤一般为：按照指定的加载模式逐渐加载至控制目标并获得结构的荷载-位移曲线(capacitycurve)，然后将其转换为表现单自由度体系的加速度响应和位移响应关系的能力谱，同时将加速度-周期格式的加速度反应谱转换为加速度-位移格式(ADRS，Acceleration-DisplacementResponseSpectrum)的需求谱(demandspectrum)，将需求谱和能力谱反映在同一个坐标系中，两条谱曲线的交点(性能点)就是满足该水准地震作用的极限承载能力和变形能力点。因此可通过定义不同的需求谱(小震、中震、大震)，通过验算不同性能水准下的承载力和变形，实现“小震不坏、中震可修、大震不倒”的三性能水准抗震设计原则。midas中使用ATC-40(1996)和FEMA-273(1997)等报告中的能力谱法(CapacitySpectrumMethod，CSM)和推荐的参数对构件的抗震性能进行评价。能力谱法的原理如图2.8.39所示。(a)结构的能力曲线(capacitycurve)和能力谱(capacityspectrum)AnalysisforCivilStructuremidasCivilWeAnalyzeandDesigntheFuture1(b)需求谱(demandspectrum)(c)性能点(performancepoint)图2.8.39能力谱法(CapacitySpectrumMethod,CSM)Pushover分析的目的是为了了解结构具有的承载能力和变形能力，钢筋砼结构在进行Pushover分析前必须先进行线弹性分析和构件设计以获得结构的配筋结果，只有使用结构的实际配筋结果才能准确进行非线性分析。Pushover分析的优点如下：（1）可获得结构和构件屈服后的响应和极限承载能力；（2）可获得结构和构件的耗能能力和位移需求；（3）可获得结构构件的出铰类型以及大致的出铰顺序；（4）在维修加固工程中事先了解需要加固的构件。第8章|非线性分析6WeAnalyzeandDesigntheFuturemidasCivil8-7-3静力弹塑性分析方法概要如下图2.8.40所示，结构在横向荷载作用的初期处于弹性状态，当内力超过构件的开裂或屈服内力时部分构件将发生开裂或屈服，此时构件和结构的刚度和阻尼都将发生变化，荷载和位移的相关关系显示出非线性特性。由弹性进入屈服阶段的点A被称为弹性极限，部分构件屈服后随着荷载的增加结构的位移会显著增加，到达B点后在较小的外力增量作用下结构也会发生较大的位移，最后在C点后即使不再增加外力位移也会显著增加，C点被称为极限承载能力点。图2.8.40内力和位移的关系点C是使用荷载增量法所能得到稳定解的极限点，要想获得C点之后的曲线只能使用位移增量法进行分析，即采用位移控制法。结构大师中既提供荷载控制法又提供位移控制法。迭代分析方法Pushover分析中由于发生裂缝和屈服造成结构的刚度变化，在分析过程中会产生不平衡力，不平衡力又被称为残余力(ResidualForce)，为了消除不平衡力需要进行迭代计算使不平衡力达到可以忽略的程度(满足收敛条件)。midas的迭代计算方法使用了完全牛顿-拉普森法(FullNewton-RaphsonMethod)，该方法具有收敛速度快的特点。使用完全牛顿-拉普森法的非线性分析过程如下图所示，其分析过程如下：AnalysisforCivilStructuremidasCivilWeAnalyzeandDesigntheFuture1图2.8.41完全牛顿-拉普森法（1）在当前步骤(n)增加荷载向量λn∙P0可得图2.8.41所示的A点，此时的平衡方程式如下：（1）式中：Kn——当前步骤(n)的结构切线刚度矩阵；ΔUn——当前步骤(n)的位移增量；Fn-1——前次步骤(n-1)的内力向量；λn——当前步骤(n)的加载系数；P0——荷载向量；λn∙P0——当前步骤(n)的荷载向量。可将式（1）用增量形式表达如下：10nnnnFPUK0PUKnnn（2）01PFUKnnnn第8章|非线性分析8WeAnalyzeandDesigntheFuturemidasCivil式中：λn、P0——当前步骤(n)的荷载向量。解式（2）得位移增量ΔUn。（2）利用位移增量ΔUn计算各单元的切线刚度和内力，将各单元的内力组合构成切线刚度矩阵Kn(i)。将各单元的内力与节点力组合构成内力向量Fn(i)。此时结构的内力和位移的关系满足图2.8.41点B上的平衡条件。（3）荷载增加λn∙P0时如果单元发生屈服则单元产生残余力Rn(i)，可通过下面的迭代计算消除残余力：)(0)()(innininFPUK)()()(inininRUK（3）式中：Kn(i)——当前步骤(n)内的第i次迭代计算时的切线刚度矩阵；δUn(i)——当前步骤(n)内的第i次迭代计算时的位移向量；Fn(i)——当前步骤(n)内的第i次迭代计算时的内力向量；Rn(i)——当前步骤(n)内的第i次迭代计算时的残余力。解方程（3）得位移向量δUn(i)。计算各单元的内力和切线刚度后可得残余力Rn(i)，重复(1)~(3)步骤直到满足收敛条件。（4）满足收敛条件时（在点C）将进行下一个增量步骤的分析。AnalysisforCivilStructuremidasCivilWeAnalyzeandDesigntheFuture1残余力和收敛计算由式(3)求解位移向量()inU后计算各单元的内力和切线刚度，然后计算残余力()inR判断是否满足收敛条件，不满足时重复上面的(1)~(3)步骤。(1)残余力和收敛计算塑性铰的出现造成了单元刚度的变化，单元刚度的变化又引起了单元内力的变化，从而使外力和单元内力之间产生了不平衡力（残余力）。程序中消除残余力的方法如下：进行收敛迭代计算时(最大迭代次数设置为不小于2时)使用完全牛顿-拉普森法进行迭代收敛计算直至满足收敛条件。但是仍有下面的残余力会累计到下一个增分步骤的外力中。a.到最大迭代次数时仍未满足收敛条件时的残余力；b.满足了收敛条件但仍残留的不平衡力。不进行收敛迭代计算时(最大迭代次数设置为1)各增量步骤的残余力将累计到下一个增量步骤中的外力中。因此即便是某个增量步骤中没有收敛只要下一个步骤中收敛时，可以认为最终分析结果收敛。(2)收敛判断条件因为不可能完全消除残余力，所以为了既满足计算结果的精确度又保证计算效率，需要设置适当的收敛判断条件。迭代计算的收敛判断采用范数标准，有位移范数、荷载范数、能量范数，可选择其一也可多选作为收敛判断标准。.位移范数()()()()iTinnDiTinnUUUU(4a)荷载范数第8章|非线性分析10WeAnalyzeandDesigntheFuturemidasCivil()()()()iTinnFiTinnFFFF(4b)能量范数()()()()iTinnEiTinnFUFU(4c)式中：εD：位移范数；εF：荷载范数；εE：能量范数；ΔUn(i)：当前步骤(n)内的第i次迭代计算累计的位移增量向量；δUn(i)：当前步骤(n)内的第i次迭代计算的位移向量；ΔFn(i)：当前步骤(n)内的第i次迭代计算的累计内力增量向量；δFn(i)：当前步骤(n)内的第i次迭代计算的内力向量。(3)收敛判断条件的选择可以同时选择多个收敛判断条件，此时收敛迭代计算次数将增加。初始荷载因为地震作用前结构的竖向荷载是始终存在的，所以Pushover分析有必要考虑竖向荷载作用下的初始内力状态，这样计算的构件内力才是接近真实的。特别是考虑轴力和弯矩相关的柱构件在计算屈服面时需要考虑竖向荷载引起的轴力。初始荷载中活荷载的组合值系数规范没有明确的规定，可根据实际情况取0.25～0.5。结构大师的Pushover分析对初始荷载也进行非线性分析，以获得更接近于实际情况的初始内力。需要注意的是，Pushover分析中考虑初始荷载时输出各单元内力包含了初始荷载引起的内力的影响，但是节点位移中没有包含初始荷载引起的位移。AnalysisforCivilStructuremidasCivilWeAnalyzeandDesigntheFuture1P-Delta效应当单元同时受轴力和横向荷载作用时，单元上将产生附加内力和附加变形，即产生所谓的重力二阶效应又称为P-Delta效应。P-Delta分析属于几何非线性分析，单元刚度矩阵中要考虑几何刚度，考虑P-Delta效应的平衡方程如下：10GnnnnKKUFP(5)式中：K:结构的弹性刚度矩阵；KG:结构的几何刚度矩阵。在Pushover分析过程中刚度矩阵行列式应大于零，当刚度矩阵的行列式为零或负值时将忽略几何刚度的影响。0GKK(6)刚度矩阵的行列式为零或负值的情况如下：FEMA类型铰的位移超过极限值时(图2.8.