2020年全国统一全国3卷理科高考数学试卷

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合}*,,|),{(xyNyxyxA，}8|),{(yxyxB，则BA中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．62．复数i311的虚部是A．103B．101C．101D．1033．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p，2p，3p，4p，且411iip，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A．1.041pp，4.032ppB．4.041pp，1.032ppC．2.041pp，3.032ppD．3.041pp，2.032pp4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数)(tI（t的单位：天）的Logistic模型：)53(23.01)(teKtI，其中K为最大确诊病例数.当KtI95.0)(*时，标志已初步遏制疫情，则*t约为（319ln）（）A．60B．63C．66D．695．设O为坐标原点，直线2x与抛物线)0(2:2ppxyC交于D，E两点，若OD⊥OE，则的焦点坐标为（）A．)0,41(B．)0,21(C．)0,1(D．)0,2(6．已知向量a，b满足5||a，6||b，6ba，则baa,cos（）A．3531B．3519C．3517D．35197．在ABC△中，，，，则（）A．B．C．D．8．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．2cos3C4AC3BCcosB191312236424426234239．已知，则（）A．B．C．D．10．若直线与曲线和圆相切，则的方程为（）A．B．C．D．11.已知双曲线2222:10,0xyCabab的左右焦点21,FF，离心率为5.P是C上的一点，且PFPF21.若21FPF的面积为4，则a（）A．1B．2C．4D．812．已知5458,45138.设53alog,85blog,138clog,则（）A．abcB．bacC．bcaD．cab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足约束条件0201xyxyx……„，则32zxy的最大值是．14．262()xx的展开式中常数项是（用数字作答）.15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．16．关于函数1sinsinfxxx．①fx的图像关于y轴对称；②fx的图像关于原点对称；③fx的图像关于2x对称；④fx的最小值为2．其中所有真命题的序号是．三、填空题：本题共6题，17~21每题12分，22题10分。17.(12分)设数列{}na满足13a，134nnaan.(1)计算2a，3a，猜想{}na的通项公式并加以证明；(2)求数列{2}nna的前项和nS.2tantan74tan2112lyx2215xyl21yx122yx112yx1122yx18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次0,200200,400400,6001（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用改组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下列的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次＞400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()nadbcKabcdacbd2()PKk…0.0500.0250.010k3.8415.0246.635空气质量等级19．（12分）如图，在长方体1111ABCDABCD中，点E，F分别在棱1DD，1BB上且12DEED，12BFFB．（1）证明：点1C在平面AEF内；（2）若2AB，1AD，13AA，求二面角1AEFA的正弦值．20．（12分）已知椭圆222:1(05)25xyCmm的离心率为154，A，B分别为C的左右顶点.（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线6x上，且||||BPBQ，BPBQ，求APQ△的面积．21.设Rxcbxxxf,)(3，曲线)(xf在点)21(21f，处的切线与y轴垂直.（1）求b；（2）若)(xf有一个绝对值不大于1的零点，证明：)(xf的所有零点的绝对值都不大于1.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为,32222ttyttx（t为参数且1t），C与坐标轴交于A，B两点．（1）求AB；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．22．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设Rcba,,,,0cba.1abc（1）证明：0cabcab；（2）用cba,,max表示cba,,的最大值，证明：34,,maxcba．