海淀区2009年4月高二数学：选修2—2水平监测试题及答案

海淀区高中课改水平监测高二数学（选修2－2）2009.4学校班级姓名本试卷分卷一、卷二两部分，共120分.考试时间90分钟.卷一卷二题号一二三一二总分15161756分数卷一(共90分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．复数2zi，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数sinyx的图象上一点3(,)32处的切线的斜率为（）A．1B．32C．22D．123．由直线1,2xx，曲线2yx及x轴所围图形的面积为（）A．3B．7C．73D．134．物体运动方程为4134St，则2t时瞬时速度为（）A．2B．4C．6D．85．复数1zi的共轭复数z=（）A．1iB．1iC．1122iD．1122i6．已知函数f(x)的导函数()fx的图象如右图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是()yxO12-1()fxyxO12-2AyxO12-2ByxO12-2CyxO12-2D7．若000(2)()lim1xfxxfxx，则0()fx等于（）A．2B．－2C．12D．128．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()fx，如果0()0fx，那么0xx是函数()fx的极值点，因为函数3()fxx在0x处的导数值(0)0f，所以，0x是函数3()fxx的极值点.以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确9．函数2()1xfxx（）A．在(0,2)上单调递减B．在(,0)和(2,)上单调递增C．在(0,2)上单调递增D．在(,0)和(2,)上单调递减10．平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()fn块区域，有(1)2,(2)4,(3)8fff，则()fn的表达式为（）A.2nB.2nC.22nnD.2(1)(2)(3)nnnn二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.11．已知平行四边形OABC的顶点A、B分别对应复数1342ii，.O为复平面的原点，那么顶点C对应的复数是____________12．若103()2xkdx，则实数k的值为.13.观察以下不等式222222131,221151,233111712344可归纳出对大于1的正整数n成立的一个不等式2221111()23fnn，则不等式右端()fn的表达式应为_________14．下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数绝对值的性质22||xx类比得到复数z的性质22||zz；③已知,abR，若0ab，则ab类比得已知12,zzC，若120zz，则12zz;④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中推理结论正确．．的是三、解答题:本大题共3小题,共34分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15．(本小题共12分)已知函数3()395fxxx.（Ⅰ）求函数()fx的单调递增区间；（Ⅱ）求函数()fx在[2,2]上的最大值和最小值.16．(本小题共12分)用数学归纳法证明:2222(1)(21)123...6nnnn17．(本小题共10分)把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x，容积为()Vx.（Ⅰ）写出函数()Vx的解析式，并求出函数的定义域；（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.卷二(共30分)一、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.1．已知复数12zi（i为虚数单位），2z在复平面上对应的点在直线x=1上，且满足12zz是纯虚数，则|2z|=_______．2．函数()ln(1)fxxax在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是.3．已知正弦函数xysin具有如下性质:若),0(,...,21nxxx,则)...sin(sin...sinsin2121nxxxnxxxnn(其中当nxxx...21时等号成立).根据上述结论可知,在ABC中,CBAsinsinsin的最大值为_______.4．对于函数2()(2)xfxxxe（1）(2,2)是()fx的单调递减区间；（2）(2)f是()fx的极小值，(2)f是()fx的极大值；（3）()fx有最大值，没有最小值；（4）()fx没有最大值，也没有最小值．其中判断正确的是________________.二、解答题:本大题共2小题,共14分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.5．(本小题共8分)给定函数xaaxxxf)1(3)(223和xaxxg2)((I)求证:)(xf总有两个极值点;(II)若)(xf和)(xg有相同的极值点,求a的值.6．(本小题共6分)设函数2()()xafxx．（I）证明：01a是函数()fx在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件；（II）若(,0)x时，满足2()26fxa恒成立，求实数a的取值范围．海淀区高中课改水平监测高二数学（选修2-2）参考答案一.选择题（本大题共10小题，每小题4分,共40分.）题号12345678910答案BDCDBACABC二.填空题(本大题共4小题，每小题4分,共16分)11.3+5i12.113.21()nfnn（n≥2）14.①④三、解答题（本大题共3小题，共34分.）15.(本小题共12分)解：(1)2'()99fxx.-------------------------------------------------2分令2990x,------------------------------------------------4分解此不等式，得11xx或.因此，函数()fx的单调增区间为(,1)(1,)和.------------------6分(2)令2990x,得1x或1x.----------------------------------------8分当x变化时，'()fx，()fx变化状态如下表：x-2(2,1)-1(1,1)1(1,2)2'()fx+0-0+()fx-111-111-------------------------------------------10分从表中可以看出，当21xx或时，函数()fx取得最小值1.当12xx或时，函数()fx取得最大值11.-----------------------------12分16.(本小题共12分)证明（1）当1n时，左边=211，右边=12316，等式成立.--4分（2）假设当nk时，等式成立，即2222(1)(21)1236kkkk------6分那么，当1nk时，这就是说，当1nk时等式也成立.----------------------10分根据（1）和（2），可知等式对任何*nN都成立.-----------------------12分17．(本小题共10分)22222222123(1)(1)(21)(1)6(1)(21)6(1)6(1)(276)6(1)(2)(23)6(1)[(1)1][2(1)1]6kkkkkkkkkkkkkkkkkkk解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为(23)ax----1分.则23()(23)4Vxaxx.-------------------------3分函数的定义域为3(0,)6a.-------------------------4分（Ⅱ）实际问题归结为求函数()Vx在区间3(0,)6a上的最大值点.先求()Vx的极值点.在开区间3(0,)6a内，223'()9364Vxxaxa--------------------6分令'()0Vx，即令22393604xaxa，解得1233,(186xaxa舍去).因为1318xa在区间3(0,)6a内，1x可能是极值点.当10xx时，'()0Vx；当136xxa时，'()0Vx.--------------------------8分因此1x是极大值点，且在区间3(0,)6a内，1x是唯一的极值点，所以1318xxa是()Vx的最大值点，并且最大值331()1854faa即当正三棱柱形容器高为318a时，容器的容积最大为3154a.------------------------10分卷二一、填空题（每小题4分，共16分）1.52.1(,]33.3324.(2)(3)二、解答题:(本大题共2小题,共14分)5.（本题8分）证明:(I)因为)]1()][(1([)1(2)('22axaxaaxxxf,令0)('xf,则1,121axax,------------------------------------------2分则当1ax时,0)('xf,当11axa,'()0fx所以1ax为)(xf的一个极大值点,-----------------------4分同理可证1ax为)(xf的一个极小值点.-------------------------------------5分另解：(I)因为'22()2(1)fxxaxa是一个二次函数，且22(2)4(1)40aa，-------------------------------------2分所以导函数有两个不同的零点，又因为导函数是一个二次函数，所以函数()fx有两个不同的极值点.---------------------------------------5分(II)因为222))((1)('xaxaxxaxg，令0)('xg,则axax21,---------------------------------------6分因为)(xf和)(xg有相同的极值点,且ax1和1,1aa不可能相等,所以当1aa时,21a，当1aa时,21a,经检验,21a和21a时,axax21,都是)(xg的极值点.--------------8分6．(本小题共6分)解（I）对函数()fx求导，得2222()()()xaxaxafxxx，…………1分先证充分性：若01a，12x，0,0xaxa，()0fx函数()fx在区间(1,2)上递增.----------------2分再说明非必要性:f（x）在区间(1,2)上递增，∴()0fx对1x2恒成立由2220xax得，22ax，而214x，所以21a，即11.a…………3分所以，01a是函数()fx在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件……4分（II）222()xafxx，令()0fx，得12,xaxa显然，0a时不符合题意.当0a时，函数()yfx在（,a）上递增，在(,0),a上递减，若(,0)x时，2()26fxa恒成立，需()fx极大值=2()2faa62426aa，得1a.--------------------------5分当0a时，函数()yfx在（,a）上递增，在(,0),a上递减，此时，(,0)x，如满足2()26fxa恒成立，需2()()026fxfaa极大值得3a