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专题:与球有关的内切与外接问题1•该类问题命题背景宽,常以棱柱、棱锥、圆柱、圆锥与球的内切、外接形式考查,多以选择、填空题的形式出现,试题较容易.切接问题涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间问题化归为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.【突破训练3】设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C,若圆C的面积等于7π4,则球O的表面积等于________.解析如图,设O′为截面圆的圆心,设球的半径为R,则OM=R2,又∠O′MO=45°,∴OO′=24R.在Rt△O′OB中,OB2=O′O2+O′B2,∴R2=R28+74,∴R2=2,∴S球=4πR2=8π.答案8π三、解答题17.长方形ABCD中,AB=23,BC=2,沿对角线AC将△DAC折起,使D点到P点的位置,且二面角P—AC—B为直二面角.(1)求PB的长;(2)求三棱锥P—ABC外接球的表面积.【解析】(1)如图,作PE⊥AC,BF⊥AC,连接BE,则PE·AC=PA·PC,PE=3,即BF=3,又AC=4,所以EF=2,BE=7,PB=𝑃𝐸2+B𝐸2=10.(2)取AC的中点O,∵OA=OB=OC=OP,∴O即为外接球的球心,球半径r=2,S球=16π.练习:一个四面体的所有的棱都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积()A3лB4л33C2D6лD1C1B1A1DCBA234()3,2S球=解法2构造棱长为1的正方体,如图。则A1、C1、B、D是棱长为的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体的外接球,此时球的直径为,23选A88.沿边长为1的正方形ABCD的对角线AC折叠,使折叠后两部分所在的平面互相垂直,则折叠后形成的空间四边形ABCD的内切球的半径为().A.2-62B.62-1C.1-22D.1【解析】设空间四边形ABCD的内切球的半径为r,则13(2×12×1×1+2×34×12)r=13×12×1×1×22,即(1+32)r=24,得r=2-62.【答案】A如图1所示,正方体,设正方体的棱长为,为棱的中点,为球的球心。常见组合方式有三类:一是球为正方体的内切球,截面图为正方形和其内切圆,则;二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形和其外接圆,则三是球为正方体的外接球,截面图为长方形和其外接圆,则.例1棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,分别是棱,的中点,则直线被球截得的线段长为()A.B.C.D.长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径1.已知长方体的长、宽、高分别是、、1,求长方体的外接球的体积。35A1AC1CO变题:2.已知球O的表面上有P、A、B、C四点,且PA、PB、PC两两互相垂直,若PA=3,PB=4,PC=5,求这个球的表面积和体积。沿对角面截得:ACBPO18(2)(2014·银川模拟)长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为()A.B.56πC.14πD.64π72(2)选C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,则得令球的半径为R,则(2R)2=22+12+32=14,所以所以S球=4πR2=14π.ab2bc3ac6,,,a2b1c3,,,27R2=,例2在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为()A.3(10π)B.4πC.3(8π)D.3(7π)【例3】►设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为().A.πa2B.73πa2C.113πa2D.5πa2[审题视点][听课记录]确定球心的位置,寻找直角三角形,通过直角三角形求球的半径.B[设三棱柱上底面所在圆的半径为r,球的半径为R,由已知r=23·32a=33a.又∵R2=r2+12a2=13a2+14a2=712a2,∴S球=4πR2=4π·712a2=73πa2,故选B.]5.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为().A.πa2B.73πa2C.113πa2D.5πa2【解析】由题设条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱,根据对称性可知,外接球的球心为上、下两底中心O1、O2连线的中点O,如图所示:在Rt△AO1O中,AO1=×=,OO1=,OA2=R2=()2+()2=,S球=4πR2=4π×7𝑎212=7π𝑎23.【答案】B8.一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形,侧棱长为6,则它的外接球的体积为().A.500π3B.500πC.4000π3D.4000π【解析】∵直六棱柱的外接球的球心为上、下底中心连线段的中点,∴外接球的半径R=42+32=5,即外接球的体积V=43πR3=43π×53=500π3,选A.【答案】A15.正三角形ABC的边长为2,将它沿高AD翻折,使点B与点C间的距离为,此时四面体ABCD的外接球的体积为.【解析】翻折后的四面体ABCD,底面是边长为3的正三角形.将四面体补形成正三棱柱DBC-AEF,则四面体ABCD的外接球的球心为正三棱柱上、下底面中心连线段的中点.球半径R=(32)2+(23×32)2=132,∴外接球的体积V=43πR3=1313π6.【答案】1313π6、三棱柱各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,,,,则这个球的表面积为.64在三棱锥中,,,则三棱锥外接球的表面积.3520205655,2,9040111、、、、则该球的表面积为,的侧棱长为侧棱垂直于底面上的直三棱柱各顶点均在同一个球面DCBAACABCCBAABC例题:一个四面体的所有的棱都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积()A3лB4л33CD6л2●●C解:设四面体为ABCD,为其外接球心。1O球半径为R,O为A在平面BCD上的射影,M为CD的中点。连结B1O2236().3323BOBMBC222,3AOABBO所以22211BOOBBOOO1在Rt中,由O得222223(),,43.323RRRR球解得所以SA·●●O●●BDA1OMR37·●●O●●BDA1OMR因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球心同为。此时,则有解得:这个解法是通过利用两心合一的思路四面体与球的“接切”问题典型:正四面体ABCD的棱长为a,求其内切球半径r与外接球半径R.思考:若正四面体变成正三棱锥,方法是否有变化?1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2、正多面体的内切球和外接球的球心重合3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不一定重合4、基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理5、体积分割是求内切球半径的通用做法40[例1]四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为,点S,A,B,C,D都在同一个球面上,则该球的体积为________.[解析]如图所示,根据对称性,只要在四棱锥的高线SE上找到一个点O使得OA=OS,则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上.在Rt△SEA中,SA=2,AE=1,故SE=1.设球的半径为r,则OA=OS=r,OE=1-r.在Rt△OAE中,r2=(1-r)2+1,解得r=1,即点O为球心,故这个球的体积是4π3.[答案]4π32则这个球的表面积,体积最大值为若四面体在同一个球面上,、、、点3,3ABCDCABCABDCBA2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题,主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法,即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式:二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等,则可以补形为一个长方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心,(为长方体的体对角线长)。的半径是在同一球面上,则该球的四个顶点若四面体重合于折起,使、、分别沿的中点,、是分别、中,的正方形边长为EFDAACBAFDEFDEFCDEBFAEDBCABFEABCD,,,,,226
本文标题:几何体内切球与外接球全解
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