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分层练透教材，多重拓展培优第四章图形的相似数学·九年级上册·北师课时学习区1成比例线段课时1成比例线段及比例的基本性质课时1过基础教材核心知识精练过基础·教材核心知识精练1.已知线段AB,在BA的延长线上取一点C,使CA=3AB,则线段CA与线段CB的比为()A.3∶4B.2∶3C.3∶5D.1∶2答案1.A【解析】因为点C在BA的延长线上,且CA=3AB,所以CB=CA+AB=4AB,所以CA∶CB=3∶4.故选A.知识点1两条线段的比过基础·教材核心知识精练2.正方形的边长与其对角线长的比为.3.在比例尺是1∶15000000的地图上,测得甲、乙两地的距离是2厘米,那么甲、乙两地的实际距离是千米.答案2.1∶2【解析】设正方形的边长为1,则该正方形的对角线长为2,所以正方形的边长与其对角线长的比为1∶2.3.300【解析】设甲、乙两地的实际距离是x厘米,根据题意,得2𝑥=115000000,解得x=30000000,30000000厘米=300千米,所以甲、乙两地的实际距离是300千米.知识点1两条线段的比比例尺=图上距离实际距离,在比例尺、图上距离和实际距离三个量中,知道其中任意两个量便可求出第三个量,但应注意单位的统一.过基础·教材核心知识精练4.易错题[2020湖南长沙雨花区期中]下列各组线段中,不成比例的是()A.4cm,10cm,6cm,8cmB.12cm,4cm,6cm,8cmC.33cm,11cm,22cm,66cmD.2cm,4cm,4cm,8cm5.[2019陕西西安高新一中月考]若四条线段a,b,c,d是成比例线段,其中a=3cm,b=2cm,c=9cm,则d=cm.答案4.A5.6【解析】因为a,b,c,d是成比例线段,所以a∶b=c∶d,解得d=6cm.知识点2成比例线段过基础·教材核心知识精练6.如图,在线段AB上取C,D两点,已知AB=6cm,AC=1cm,且𝐴𝐶𝐶𝐷=𝐷𝐵𝐴𝐵.求线段CD的长.答案6.【解析】设CD=xcm,则DB=AB-AC-CD=6-1-x=(5-x)(cm),∵𝐴𝐶𝐶𝐷=𝐷𝐵𝐴𝐵,∴1𝑥=5−𝑥6,解得x=2或x=3.经检验,x=2和x=3都是1𝑥=5−𝑥6的根,符合题意.故CD的长是2cm或3cm.知识点2成比例线段过基础·教材核心知识精练7.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高线,试猜想线段AC,AB,CD,BC是否成比例,如果成比例,请写出这个比例式,并进行验证;如果不成比例,请说明理由.答案7.【解析】线段AC,AB,CD,BC成比例,且𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐶𝐶𝐷(或𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐴𝐶𝐶𝐷).验证如下:根据三角形的面积公式,得12AB·CD=12AC·BC,所以AB·CD=AC·BC,即𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐶𝐶𝐷.知识点2成比例线段过基础·教材核心知识精练8.[2019浙江宁波江北区期末]如果𝑥2=𝑦3,那么下列式子成立的是()A.2x=3yB.3x=2yC.x=2yD.xy=6答案8.B知识点3比例的性质在运用比例的性质时,由比例式化等积式是唯一的,而由等积式化比例式是不唯一的,只要写出的比例式的两内项之积等于两外项之积且与原等积式相同即可.过基础·教材核心知识精练9.已知3x+6y=0,且x≠0,则y与x的比是()A.-12B.12C.-2D.2答案9.A【解析】∵3x+6y=0,且x≠0,∴3x=-6y,∴𝑦𝑥=-36=-12.故选A.知识点3比例的性质过基础·教材核心知识精练10.已知2𝑥3=3𝑦2,则𝑥𝑦=.11.已知3𝑎+5𝑏𝑏=73,则𝑎𝑏的值为.12.已知a,b,c满足𝑎3=𝑏4=𝑐6,且a,b,c都不为0,则𝑎+𝑏𝑐−𝑏=.答案10.94【解析】因为2𝑥3=3𝑦2,所以4x=9y,所以𝑥𝑦=94.11.-89【解析】由题意可得9a+15b=7b,所以9a=-8b,所以𝑎𝑏=-89.12.72【解析】设𝑎3=𝑏4=𝑐6=k(k≠0),则a=3k,b=4k,c=6k,所以𝑎+𝑏𝑐−𝑏=3𝑘+4𝑘6𝑘−4𝑘=7𝑘2𝑘=72.知识点3比例的性质当条件中出现多个比相等时,可设其比值为k,把原条件中的每一个字母用含k的式子表示,再将这些式子代入待求式约分即可得到结果.过基础·教材核心知识精练13.[2019甘肃兰州期末]已知a,b,c是△ABC的三边,且满足𝑎+43=𝑏+32=𝑐+84,a+b+c=12,则△ABC的形状为三角形.答案13.直角【解析】设𝑎+43=𝑏+32=𝑐+84=k(k≠0),则a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8,∵a+b+c=12,∴9k-15=12,解得k=3,∴a=5,b=3,c=4,又∵32+42=52,即b2+c2=a2,∴△ABC为直角三角形.知识点3比例的性质课时2比例的其他性质课时2过基础教材核心知识精练过基础·教材核心知识精练1.若𝑦𝑥=34,则𝑥+𝑦𝑥的值为()A.1B.47C.54D.74答案1.D【解析】∵𝑦𝑥=34,∴𝑥+𝑦𝑥=4+34=74.故选D.知识点比例的其他性质过基础·教材核心知识精练2.[2020上海嘉定区期中]如果2x=3y(x,y均不为0),那么下列各式正确的是()A.𝑥𝑦=23B.𝑥𝑥−𝑦=3C.𝑥+𝑦𝑦=53D.𝑥𝑥+𝑦=25答案2.B【解析】∵2x=3y,x,y均不为0,∴𝑥𝑦=32,∴选项A不正确;∵𝑥𝑦=32,∴𝑥𝑥−𝑦=33−2=3,∴选项B正确;∵𝑥𝑦=32,∴𝑥+𝑦𝑦=3+22=52,∴选项C不正确;∵𝑥𝑦=32,∴𝑥𝑥+𝑦=33+2=35,∴选项D不正确.故选B.知识点比例的其他性质过基础·教材核心知识精练3.已知𝑎𝑏=𝑐𝑑=𝑒𝑓=23(b+d+f≠0),且a+c+e=6,则b+d+f的值为()A.4B.6C.9D.12答案3.C【解析】由𝑎𝑏=𝑐𝑑=𝑒𝑓=23,得𝑎+𝑐+𝑒𝑏+𝑑+𝑓=23,因为a+c+e=6,所以b+d+f=6×32=9.故选C.知识点比例的其他性质过基础·教材核心知识精练4.若四条不相等的线段a,b,c,d满足𝑎𝑏=𝑐𝑑,则下列式子中,成立的是()A.𝑏𝑎=𝑐𝑑B.𝑎𝑏=𝑐+𝑚𝑑+𝑚(m0)C.𝑎−𝑏𝑏=𝑑−𝑐𝑑D.𝑎+𝑐𝑏+𝑑=𝑐𝑑答案4.D【解析】A项,𝑏𝑎=𝑑𝑐,所以A项中的式子不成立;B项,𝑐+𝑚𝑑+𝑚−𝑐𝑑=𝑐𝑑+𝑚𝑑−𝑐𝑑−𝑐𝑚𝑑(𝑑+𝑚)=𝑚(𝑑−𝑐)𝑑(𝑑+𝑚),因为m0,d≠c,所以𝑐+𝑚𝑑+𝑚≠𝑐𝑑,所以B项中的式子不成立;C项,𝑎−𝑏𝑏=𝑐−𝑑𝑑,所以C项中的式子不成立.故选D.知识点比例的其他性质过基础·教材核心知识精练5.若𝑎𝑏=𝑐𝑑=𝑒𝑓=34,给出下列各式:①𝑎+𝑐𝑏+𝑑=34(b+d≠0);②𝑎−𝑐+2𝑒𝑏−𝑑+2𝑓=34(b-d+2f≠0);③𝑐𝑐+𝑑=34(c+d≠0);④𝑎−2𝑒𝑏−2𝑓=34(b≠2f).其中正确的是.(填写所有正确的序号)6.若𝑥2=𝑦3=𝑦+𝑧5,则𝑥+𝑦+𝑧𝑥=.答案5.①②④【解析】由比例的性质易知①正确;由已知得𝑎𝑏=−𝑐−𝑑=2𝑒2𝑓=−2𝑒−2𝑓=34,再由比例的性质可知②④正确;𝑐𝑐+𝑑=37,故③是错误的.6.72【解析】因为𝑥2=𝑦3=𝑦+𝑧5,所以2𝑥=5𝑦+𝑧,所以𝑦+𝑧𝑥=52,所以𝑥+𝑦+𝑧𝑥=2+52=72.知识点比例的其他性质过基础·教材核心知识精练7.易错题若𝑎𝑏+𝑐=𝑏𝑐+𝑎=𝑐𝑎+𝑏=m,求m的值.答案7.【解析】当a+b+c≠0时,由比例的性质,得m=𝑎+𝑏+𝑐𝑏+𝑐+𝑐+𝑎+𝑎+𝑏=12.当a+b+c=0时,a+b=-c,所以m=𝑐𝑎+𝑏=-1.综上所述,m的值是12或-1.知识点比例的其他性质过基础·教材核心知识精练8.设a,b,c是△ABC的三条边长,且𝑎−𝑏𝑏=𝑏−𝑐𝑐=𝑐−𝑎𝑎,判断△ABC为何种三角形,并说明理由.答案8.【解析】△ABC为等边三角形.理由如下:因为a+b+c≠0,所以由比例的性质可得,𝑎−𝑏𝑏=𝑏−𝑐𝑐=𝑐−𝑎𝑎=(𝑎−𝑏)+(𝑏−𝑐)+(𝑐−𝑎)𝑎+𝑏+𝑐=0,所以a-b=0,b-c=0,c-a=0,所以a=b=c,故△ABC为等边三角形.知识点比例的其他性质2平行线分线段成比例过基础教材核心知识精练过基础·教材核心知识精练1.[2020黑龙江哈尔滨南岗区期中]如图,已知AB∥CD∥EF,则下列结论正确的是()A.𝐶𝐷𝐸𝐹=𝐴𝐷𝐴𝐹B.𝐵𝐶𝐶𝐸=𝐷𝐹𝐴𝐷C.𝐶𝐷𝐸𝐹=𝐵𝐶𝐵𝐸D.𝐴𝐷𝐷𝐹=𝐵𝐶𝐶𝐸答案1.D知识点1平行线分线段成比例对应线段的比相等是指同一直线上的两条线段的比等于另一条直线上与它们对应的线段的比.过基础·教材核心知识精练2.[2020福建漳州模拟]如图,a∥b∥c,直线m,n与a,b,c分别相交于点A,C,E和B,D,F,若AC=4,CE=6,BD=3,则BF的长为()A.92B.152C.6D.52答案2.B【解析】∵a∥b∥c,∴𝐴𝐶𝐶𝐸=𝐵𝐷𝐷𝐹.∵AC=4,CE=6,BD=3,∴46=3𝐷𝐹,∴DF=92,∴BF=BD+DF=3+92=152.故选B.知识点1平行线分线段成比例过基础·教材核心知识精练3.[2018浙江嘉兴中考]如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC交l1,l2,l3于点A,B,C;直线DF交l1,l2,l3于点D,E,F.已知𝐴𝐵𝐴𝐶=13,DE=4,则EF=.答案3.8【解析】∵𝐴𝐵𝐴𝐶=13,∴𝐵𝐶𝐴𝐵=2.∵l1∥l2∥l3,∴𝐸𝐹𝐷𝐸=𝐵𝐶𝐴𝐵=2,又∵DE=4,∴EF=8.知识点1平行线分线段成比例过基础·教材核心知识精练4.如图,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,同一条直线上的三个点A,B,C都在横格线上.若线段AB=4cm,则线段BC=cm.答案4.12【解析】如图,过点A作AE垂直点C所在的横格线于点E,交点B所在的横格线于点D,∵练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,∴𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐴𝐷𝐷𝐸,即4𝐵𝐶=26,∴BC=12cm.知识点1平行线分线段成比例过基础·教材核心知识精练5.如图,l1∥l2∥l3,若AM=3,BM=5,CM=4.5,EF=16,求DM,EK,FK的长.答案5.【解析】∵l1∥l2∥l3,∴𝐴𝑀𝐵𝑀=𝐶𝑀𝐷𝑀=𝐸𝐾𝐹𝐾.∵AM=3,BM=5,CM=4.5,∴DM=𝐵𝑀·𝐶𝑀𝐴𝑀=7.5,𝐸𝐾𝐹𝐾=35,又∵EF=EK+FK=16,∴EK=6,FK=10.知识点1平行线分线段成比例过基础·教材核心知识精练6.[2019北京门头沟区期末]如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,DE∥BC,若AD=2,BD=1,AE=3,则EC的长是()A.32B.1C.23D.6答案6.A【解析】∵DE∥BC,∴𝐴𝐷𝐷𝐵=𝐴𝐸𝐸𝐶,∴21=3𝐸𝐶,∴EC=32.故选A.知识点2平行线分线段成比例的推论在由平行线推出成比例的线段的比例式时,要注意它们的相互位置关系,要把对应的线段写在对应的位置上.过基础·教材核心知识精练7.如图,AB与CD相交于点E,AD∥BC,BE=3,AE=5,CD=16,则DE的长为()A.3B.6C.485D.10答案7.D【解析】因为AD∥BC,所以𝐵𝐸𝐴𝐸=